НОУ ИНТУИТ | Введение в компьютерную алгебру. Лекция 11: Интегрирование полиномов и рациональных функций. Некоторые сведения из дифференциальной алгебры. Структурная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 04.03.2008 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 28 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

24.5. ПРИМЕР.

$\int f\,dx = \int \left[ 2xe^{x^2 }\log x +\frac{e^{x^2 }}x+\frac {\log x -2}{(\log^2 x+x)^2 } +\frac{\frac 2x\log x +\frac 1x +1}{\log^2 x+x}\right]\,dx.$

Положим $\gamma =e^{x^2 },\ \theta =\log x$ . Структурная теорема дает возможность проверить, что $\gamma$ и $\theta$ являются регулярными мономами над $\mathbb Q(x)$ и $\mathbb Q(x,\gamma)$ соответственно.

В терминах , $\gamma$ и $\theta$ подынтегральная функция принимает вид:

$f=2x\gamma \theta +\frac {\gamma }x +\frac{\theta -2}{(\theta ^2 +x)^2 } +\frac {\frac 2x\theta +\frac 1x +1}{\theta ^2 +x}.$

Рассматривая как рациональную функцию от $\theta$ с коэффициентами в поле $\mathbb Q(x,\gamma )$ видим, что первые два слагаемых являются полиномами от $\theta$ , а последние два - рациональными функциями. Учитывая, что полином $\theta ^2 +x$ абсолютно неприводим (т. е. неприводим при любом расширением поля констант), будем искать решение в виде

$f=\frac d{dx}\left[ B_2\theta ^2 +B_1\theta +B_0+\frac {B_{11}}{\theta ^2 +x}+c_1\log(\theta ^2 +x)\right],$

где

- константа, $B_2, B_1, B_0\in\mathbb Q(x,\gamma ),\ B_{11}\in\mathbb Q(x,\gamma ,\theta )$ и линеен по $\theta$ . (Это согласуется с теоремой Лиувилля.)

Дифференцируя это соотношение, получим

$\begin{multiline*} f=B_2'\theta^2+\left(\frac2xB_2+B_1'\right)\theta+\left(\frac1xB_1+B_0'\right)+\frac{-B_{11}(\frac2x\theta+1)}{(\theta^2+x)^2}\\ +\frac{B_{11}'}{\theta ^2 +x}+\frac{c_1(\frac 2x\theta +1)}{\theta ^2 +x}. \end{multiline*}$

Приравниваем коэффициенты при степенях $\theta$ , начиная со старшей. Для полиномиальной части получаем следующие соотношения.

Приравнивая коэффициенты при $\theta ^2$ , получаем B_2'=0 , следовательно, $B_2=\const=b_2$ .

Приравнивая коэффициенты при $\theta$ , имеем $\frac 2xb_2+B_1'=2x\gamma$ , следовательно, $B_1'=2x\gamma -\frac 2xb_2$ . Интегрируя это выражение в поле $\mathbb Q(x,\gamma )$ , получаем $B_1=-2b_2\theta +\gamma +b_1$ , следовательно, b_2=0 и $B_1=\gamma +b_1$ .

Приравнивая слагаемые, не зависящие от $\theta$ , убеждаемся, что $\frac {\gamma +b_1}x + B_0' = \frac {\gamma }x$ . Следовательно, $B_0=-b_1\theta +b_0$ , значит b_1=0 и $B_0=\const=b_0$ .

Разбор рациональной части начинаем со слагаемых с максимальной степенью знаменателя. Чтобы избавиться от слагаемых со знаменателем $(\theta ^2 +x)^2$ нужно решить сравнение

$-B_{11}\left(\frac 2x\theta +1\right)\equiv \theta -2\quad \pmod{\theta ^2 +x}.$

Для нахождения коэффициента $B_{11}$ нам нужно в поле $\mathbb Q(x,\gamma ,\theta )$ решить уравнение

$P(\theta )\left(-\left(\frac 2x\theta +1\right)\right)+Q(\theta )(\theta ^2 +x)=\theta -2,$

где

- линейный относительно $\theta$ полином, $P(\theta ),\mathbb Q(\theta )\in \mathbb Q(x,\gamma ,\theta )$ .

Получаем $P(\theta )=-\theta$ , $Q(\theta )=-\frac 2x$ , следовательно, $B_{11}=-\theta$ и

$\frac {\theta (\frac 2x\theta +1)}{(\theta ^2 +x)^2 }-\frac {\frac 1x}{\theta ^2 +x}+\frac{c_1(\frac 2x\theta +1)}{\theta ^2 +x} =\frac {\theta -2}{(\theta ^2 +x)^2 }+\frac {\frac 2x\theta +\frac 1x +1}{\theta ^2 +x},$

откуда вытекает, что c_1=1

.

После подстановки всех неизвестных, окончательный результат принимает вид

$%\thickmuskip=0mu \medmuskip=0mu\thinmuskip=0mu \int f\,dx =\gamma \theta +\frac{-\theta }{\theta ^2 +x}+\log(\theta ^2 +x)=e^{x^2 }\log x -\frac{\log x}{\log^2 x+x} +\log(\log^2 x+x).$

Отметим следующие моменты в рассмотренном примере.

Мы пользовались абсолютной неприводимостью полинома $\theta^2 +x$ (т. е. его неприводимостью при произвольном расширении поля констант). Если знаменатель разлагается на множители (возможно, после расширения поля констант), то рациональная часть принимает более сложный вид.
Возможную форму интеграла мы получали из теоремы Лиувилля.
Вычисление неопределенных коэффициентов в формуле для интеграла сводилось путем дифференцирования к решению некоторого линейного дифференциального уравнения первого порядка над меньшим полем.
Подынтегральная функция в меньшем поле зависела от параметров, и интегрировать ее было возможно только при некоторых ограничениях на параметры (например, ).

В разобранных выше примерах мы видели, что применение метода неопределенных коэффициентов приводит к задаче нахождения рациональных решений уравнений более общего вида, чем y'=f , а именно,