Цепи Маркова

Еще раз об ориентированных графах

Степенью выхода вершины ориентированного графа называется число выходящих из дуг (ребер). Степенью входа вершины ориентированного графа называется число входящих в дуг (ребер).

Изолированной вершиной называется вершина, у которой и степень входа, и степень выхода равны . Источником называется вершина, степень выхода которой положительна, а степень входа равна . Стоком называется вершина, степень входа которой положительна, а степень выхода равна . Путем в ориентированном графе от до называется последовательность ориентированных дуг (ребер) , , такая, что конец каждой предыдущей дуги (ребра) совпадает с началом следующей и ни одна дуга (ребро) не встречается более одного раза. Если в ориентированном графе нашелся путь от до , то обратного пути от к может и не быть. Простым путем в ориентированном графе называется путь, в котором ни одна вершина не содержится более одного раза. Замкнутый путь в ориентированном графе называется ориентированным циклом. Длиной пути называется число дуг (ребер) в этом пути. Расстоянием от до в ориентированном графе называется длина наикратчайшего пути от до . Если пути от до не существует, то расстояние от до называется бесконечным. Оно обозначается . Расстояние от до будем обозначать . Полным ориентированным графом называется граф, каждая пара вершин которого соединена в точности одной ориентированной дугой (ребром). Если с каждого ребра (дуги) полного ориентированного графа снять направление, то образуется полный граф с неориентированными ребрами (дугами).

Задачи на круговые бескомпромиссные турниры

Напомним, что соревнование, в котором каждая из команд играет с каждой из остальных команд в точности по одному разу, называют круговым турниром или турниром в один круг. Если каждая встреча оканчивается непременно выигрышем одной из команд, то круговой турнир называется бескомпромиссным. Круговой бескомпромиссный турнир проводится, например, в волейболе и баскетболе. Так как мы рассматриваем исключительно бескомпромиссные круговые турниры, не возникает опасности спутать их с каким-либо другим видом турниров; такое соревнование будем называть сокращенно турниром. Каждому турниру соответствует полный ориентированный граф, в котором вершины представляют команды, а каждая ориентированная дуга выражает отношение " победила ". Степень выхода любой вершины есть число побед, одержанных командой .

Задача 1. Турнир по волейболу проводится между командами. Докажем, что если какие-нибудь две команды одержали в турнире одинаковое число побед, то найдутся среди участников три команды I, II, III, такие, что I выиграла у II, II выиграла у III, а III выиграла у I.

Решение. Пусть и — две команды, одержавшие одинаковое число побед, например, побед. Пусть к тому же выиграла у . Те команд, у которых выиграла команда , обозначим (рис. 10.1).

Рис. 10.1.

Рис. 10.2.

Команда не могла одержать победы над всеми командами из числа , так как иначе она одержала бы больше, чем побед.

Следовательно, среди команд найдется хотя бы одна, которая одержала победу над . Стрелку от нее направим . Путь замкнется.

Сформулируем полученный результат на языке графов.