Раскрашивание графов

Хроматическое число

Рассмотрим задачу: при каких условиях вершины графа можно раскрасить так, чтобы каждое ребро было инцидентно вершинам разного цвета? Нас больше всего интересует вопрос, какие графы можно раскрасить с соблюдением определенных условий, чем вопрос, сколькими способами можно выполнить это раскрашивание.

Пусть граф не имеет петель; тогда называется - раскрашиваемым, если каждой его вершине можно приписать один из цветов таким образом, чтобы никакие две смежные вершины не оказались одного цвета. Если граф является -раскрашиваемым, но не является -раскрашиваемым, назовем его - хроматическим, а число назовем хроматическим числом графа и обозначим через . На рисунке изображен 4-хроматический (и, следовательно, -раскрашиваемый граф при ) граф; цвета обозначены греческими буквами.

Для удобства будем предполагать, что все графы не содержат петель. Однако будем допускать существование кратных ребер, так как они не влияют на наши рассуждения.

Ясно, что , и, следовательно, легко построить графы со сколь угодно большим хроматическим числом. С другой стороны, нетрудно видеть, что

тогда и только тогда, если — вполне несвязный граф, и что

тогда и только тогда, если — двудольный граф, отличный от вполне несвязного графа.

Теорема 8.1. Если наибольшая из степеней вершин графа равна , то этот граф -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин в . Пусть — граф с вершинами; если из него удалить произвольную вершину вместе с инцидентными ей ребрами, то в оставшемся графе будет вершин, причем степени вершин по-прежнему не превосходят . По предположению индукции этот граф -раскрашиваем, отсюда получится -раскладка для , если окрасить вершину цветом, отличным от тех, которыми окрашены смежные с ней вершины, а их не более чем .

Теорема (Брукса). Пусть — простой связный граф, не являющийся полным; если наибольшая из степеней его вершин равна , то он -раскрашиваем.

Доказательство Проведем индукцию по числу вершин графа . Предположим, что имеет вершин. Если при этом степень какой-нибудь его вершины меньше , дальше можно рассуждать, как в доказательстве теоремы 1, и все будет закончено. Поэтому без потери общности можно считать граф регулярным степени .

Выберем произвольную вершину и удалим ее, вместе с инцидентными ей ребрами. Останется граф с вершинами, в котором наибольшая из степеней вершин не превосходит . По предположению индукции этот граф -раскрашиваем. Теперь окрасим вершину в один из имеющихся цветов. Как и раньше, считаем, что смежные с вершины расположены вокруг по часовой стрелке и окрашены в различные цвета .

Определяя подграфы , когда лежат в разных компонентах графа Таким образом, можно считать, что при любых данных вершины связаны простой цепью, целиком лежащей в . Обозначим компоненту графа , содержащую вершины , через .

Ясно, что если вершина — смежная более чем с одной вершиной цвета , то существует цвет, отличный от , не приписанный никакой из вершин, смежных с . Тогда вершину можно окрасить в этот цвет, что, в свою очередь, позволит окрасить вершину в цвет и закончить на этом доказательство теоремы. Если этот случай не имеет места, то используем аналогичное рассуждение, чтобы показать, что каждая вершина из (отличная от и от ) должна иметь степень 2. Предположим, что — первая вершина простой цепи из в , которая имеет степень больше 2; тогда можно перекрасить в цвет, отличный от или , нарушая тем самым свойство, что и связаны простой цепью, целиком лежащей в . Поэтому мы можем считать, что для любых и компонента состоит только из простой цепи, соединяющей вершину с .

Заметим теперь, что две простые цепи вида и , где , можно считать пересекающимися только в вершине , так как если — другая точка пересечения, то ее можно перекрасить в цвет, отличный от или , или , а это противоречит факту, что связаны простой цепью.

Для завершения доказательства выберем (если это возможно) две несмежные вершины и допустим, что — вершина цвета , смежная с . Поскольку — простая цепь (для любого ), можно поменять между собой цвета вершин в этой цепи, не затрагивая раскраску остальной части графа. Но это приводит к противоречию, потому что тогда будет общей вершиной простых цепей и . Отсюда следует, что нельзя выбрать две вершины и несмежными, и поэтому должен быть полным графом . А так как это не допускается условием теоремы, то все возможные случаи рассмотрены.