Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх

Смешанные расширения m x n биматричных игр

Рассмотренная выше схема выбора поведения, основанная на (искусственном) внесении неопределенности путем использования случайных механизмов, может быть обобщена на случай, когда число чистых стратегий каждой из сторон превышает две. При таком подходе первая сторона P₁ использует рулетку, которая имеет m исходов, характеризуемых вероятностями наступления x_i, , а вторая сторона - рулетку с n исходами, характеризуемыми вероятностями наступления y_j, . При этом m и n есть числа чистых стратегий, имеющихся соответственно у первой и второй сторон. Теперь введем следующее определение.

Определение 2.5. Смешанными стратегиями игроков P₁ и P₂ в биматричной игре соответственно называются векторы

где S_m и S_n есть множества векторов с неотрицательными координатами, сумма которых равна единице, т.е. Числа x_i и y_j есть вероятности, с которыми (независимые) рулетки игроков P₁ и P₂ порождают исходы соответственно с номерами i и j. Тем самым определяется использование игроками P₁ и P₂ соответственно чистой стратегии с номером i и чистой стратегии с номером j в текущей партии игры. пар

Поскольку в классе S_m смешанных стратегий^{2Многомерные фигуры, обладающие свойствами (11.15), называются симплексами} .} стороны P₁ для любого номера i, , существует стратегия x(i), удовлетворяющая условиям

и, следовательно, обеспечивающая применение чистой стратегии i с единичной вероятностью, то игра в чистых стратегиях может интерпретироваться как частный случай игры в смешанных стратегиях. Аналогичное утверждение справедливо для игрока .

Выбор игроками P₁ и P₂ смешанных стратегий и еще не определяет конкретного исхода игры. В связи с этим, в качестве оценок эффективности M₁(x, y) и M₂(x,y), которую обеспечивает игрокам выбор пары (x,y), принимаются математические ожидания

при определении которых учтена (вероятностная) независимость случайных механизмов, используемых сторонами.

Если принять, что x и y есть векторы-столбцы, и обозначить матрицы, представляющие выигрыши первого и второго игроков (при игре в чистых стратегиях), соответственно через A и B, то, согласно (11.16), смешанное расширение биматричной игры можно представить следующей моделью (в нормальной форме):

(верхний индекс T соответствует операции транспонирования, сопоставляющей вектору-столбцу вектор-строку).

Для произвольной биматричной игры справедливо утверждение, что в ее смешанном расширении существует хотя бы одна ситуация равновесия (по Нэшу). Т.е. в смешанном расширении каждой биматричной игры существует пара смешанных стратегий ( x^*,y^*), удовлетворяющая неравенствам (3.3), где X=S_m и Y=S_n. В случае, когда интересы сторон являются противоположными (антагонистическими), это утверждение подразумевает существование седловой точки (x^*,y^*) ядра

удовлетворяющей условиям: см. (6.2) и (6.3).

Существование пар стратегий, удовлетворяющих условиям (11.9) и, следовательно, являющихся равновесными решениями для смешанных расширений антагонистических игр, которые имеют ядра вида (11.18) (с любыми матрицами A ), будет показано в следующем параграфе. Доказательство упомянутого выше факта разрешимости условий (6.3) для смешанного расширения (11.17) любой биматричной игры может быть найдено в других источниках^{3См., например: Оуэн Г. Теория игр. - М.: Мир, 1971.}. Мы опускаем это доказательство в нашей небольшой (соответствующей программе вводного курса) книге, поскольку для общего случая (в отличие от уже рассмотренных задач) оно не дает способа вычисления пары стратегий, порождающих ситуацию равновесия (т.е. оно не является конструктивным ). Кроме того, как уже было отмечено, анализ устойчивости в таких задачах может оказаться недостаточным для выработки удовлетворительных схем поведения сторон.