Устойчивость и эффективность поведения сторон: совместимость свойств устойчивости и эффективности

Проблема эффективности свойств устойчивости и эффективности решений

Пример 1.2 ( Дуополия^{3 Дуополия - рынок, на котором действуют всего два продавца, которые не могут игнорировать друг друга.} Курно^{4Курно Антуан Огюстен (1801-1877) - французский математик и экономист, предшественник математической школы в экономике.} ). Рассмотрим один из вариантов модели рынка однородного товара, согласно которой на рынке действуют две фирмы P₁ и P₂, предлагающие для продажи в рассматриваемом периоде соответственно q₁ и q₂ единиц указанного товара (который мы будем считать сколь угодно дробимым ). Таким образом, любое решение производителей P₁ и P₂, задаваемое парой q₁,q₂, определяет общее количество товара

предлагаемого для продажи в данный период. Примем, что клиринговая цена (т.е. цена, по которой осуществляются расчеты по сделкам) зависит от количества поступившего на рынок товара и эта зависимость определяется выражением

Замечание 1.10 (о выборе диапазона цен). Как следует из (3.6), с ростом объема Q товара, поступающего на рынок, цена p линейно убывает до нулевого значения и остается на этой отметке при дальнейшем увеличении объемов поступлений. Разумеется, что производители не будут расширять производство при падении цен до нулевого уровня. Т.е. на любом реальном рынке заведомо выполняется условие Q<a и, следовательно, графический образ множества стратегических пар (q₁,q₂), которые могут реализоваться, заведомо ограничен треугольником

изображенным жирными линиями на рис.1.5. Однако, если ограничить решения сторон парами (q₁,q₂) из треугольника (3.7), то возможности выбора одной стороны оказываются связанными с фактическим выбором, осуществленным другой стороной. Это обстоятельство затрудняет непосредственное использование введенных выше понятий равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето, поскольку их определения предполагают, что стороны независимы в выборе своих стратегий.

Поэтому мы будем полагать, что определяемые сторонами P₁ и P₂ объемы предложения q₁ и q₂ могут соответствовать любой точке (q₁,q₂) из квадранта (3.5). Т.е. мы принимаем, что множества X и Y стратегий сторон P₁ и P₂ есть

Множества стратегий сторон, задаваемые условиями (3.8), допускают использование произведения в определениях равновесия по Нэшу и оптимальности по Парето.

Примем, для простоты рассмотрения, что условия производства на обеих фирмах являются одинаковыми и не предполагают постоянных затрат. Тогда общие затраты C_i, осуществляемые фирмой P_i для производства товара в количестве q_i, определяются величиной

где параметр c является константой (фактически, мы также дополнительно предположили линейную зависимость затрат от объемов выпуска).

Пусть есть прибыль, получаемая фирмой P_i и представляющая собой разность дохода этой фирмы и осуществленных ею затрат (3.9). При сделанных предположениях зависимость прибыли ( фирмы P_i от объемов выпуска обеих фирм, имеет вид

Отсюда (после подстановки (3.6)) получаем выражение которое в треугольнике (3.7) описывается более простой формулой При этом согласно (3.11), в подобласти треугольника (3.7), описываемой условиями прибыль является неотрицательной (см. рис.1.5).

Соотношения (3.8) и (3.10) задают нормальную форму игры двух лиц, причем выражения (3.10) для прибыли, получаемой сторонами P₁ и P₂ в результате продажи товара, играют роль критериев эффективности, в максимизации которых заинтересованы эти стороны. Заметим, что интересы сторон в построенной игре являются несовпадающими и не противоположными.

Исследуем вопрос о существовании устойчивых (по Нэшу) решений в рассматриваемой игре. Определим условия, при которых достигается максимум по q_i от прибыли , получаемой стороной P_i в предположении, что объем товара q_j, продаваемого другой стороной P_j , является фиксированным. С этой целью рассмотрим производную

которая определена в квадранте (3.5) всюду, кроме точек, лежащих на прямой q₁+q₂=a. Допустим, что Тогда производная (3.13) имеет нулевые значения во всех точках прямой лежащих в квадранте (3.5). При этом условие (3.14) выполняется во всех таких точках и, кроме того, вторая производная по q_i от прибыли является отрицательной.

Таким образом, на отрезке прямой (3.15), соответствующей случаю i=1, j=2 и лежащей в первом квадранте (3.5), достигается максимум прибыли стороны P₁ (при вариации объема выпуска q₁ и фиксированном объеме q₂ ). Указанный отрезок нанесен на рис.1.6. Отрезок, состоящий из точек максимума прибыли стороны P₂ и соответствующий случаю i=2, j=1 также нанесен на рис.1.6. При этом, согласно (3.11), прибыль стороны P_i в точках (q₁,q₂), лежащих на прямой (3.15), определяется выражением

и, следовательно, растет с увеличением объема q_i. Указанные направления роста прибыли вдоль отрезков прямых линий вида (3.15) отмечены стрелками на рис. рис.1.6.

Прямые линии (3.15), соответствующие случаям i=1, j=2 и i=2, j=1, пересекаются в точке с координатами

которая одновременно является точкой максимума прибыли по q₁ и точкой максимума прибыли по q₂. Таким образом: и, следовательно, точка из (3.17) есть стратегическая точка равновесия. При этом, согласно (3.16) и (3.17), уровень прибыли, достижимый в точке равновесия, оказывается одинаковым для обеих сторон и составляет величину