Математическая модель задачи выбора решений

Модель операции в нормальной форме

Непосредственное использование отношений R₁ и R₂, введенных выше для описания интересов сторон P₁ и P₂, предполагает задание всех пар (z₁,z₂), составляющих графики этих отношений. В случае, когда множество исходов Z содержит значительное число элементов, явное перечисление всех таких пар может оказаться слишком громоздким. Зачастую эту трудность можно преодолеть, вводя значительно более компактное описание отношений R₁ и R₂ с помощью вещественных функций H₁(z) и H₂(z), определенных на множестве исходов Z и неубывающих соответственно по предпочтениям R₁ и R₂.

Определение 1.1. Функция H_i(z), определенная на множестве исходов Z, называется неубывающей по нестрогому предпочтению R_i, если

При этом, согласно (1.3) и (1.7),

В случае, когда выполняются также условия

говорят, что эта функция представляет отношение R_i. В последнем случае соответствующую функцию H_i(z) называют функцией ценности или функцией полезности исхода .

Теорема 1.1. Функция H_i(z), неубывающая по полному квазипорядку R_i и удовлетворяющая условиям

представляет этот квазипорядок.

Доказательство. Свойство неубывания, включенное в условия теоремы, гарантирует справедливость утверждения (1.7). Теперь допустим, что условия (1.8) не выполняются. Т.е. во множестве существует хотя бы одна пара (z₁,z₂), для которой справедливо неравенство

но не имеет места отношение z₁R_iz₂.

В силу предположенной полноты квазипорядка R_i, это означает справедливость обратного отношения z₂R_iz₁, которое, в соответствии с (1.2), эквивалентно условиям

Согласно (1.3), истинность правого отношения в (1.11) противоречит принятому допущению о несправедливости z₁R_iz₂. Допущение справедливости левого отношения в (1.11) ведет, согласно (1.9), к противоречию с (1.10). Таким образом, условия (1.8) необходимо выполняются для полного квазипорядка R_i.

Теорема 1.2. Любой полный квазипорядок R_i на конечном множестве Z может быть представлен неотрицательной вещественной функцией H_i(z), удовлетворяющей условиям (1.8).

Доказательство проведем путем построения функции H_i(z), , удовлетворяющей указанным условиям. Пусть множество исходов Z₀=Z содержит N элементов. Выделим из множества Z₀ подмножество Z¹ всех исходов, удовлетворяющих условию:

Заметим, что все исходы из множества Z¹ являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества . Положим H_i(z)=1, .

Теперь построим подмножество Z² множества Z₁, удовлетворяющее условию:

При этом все исходы из множества Z² являются эквивалентными, и каждый из них строго превосходит любой исход из множества . Кроме того, Выберем число , , и положим , .

Следуя описанной схеме, построим подмножество Z^k+1 множества Z_k, , удовлетворяющее условию:

При этом все исходы из множества Z^k+1 являются эквивалентными и каждый из них строго превосходит любой исход из множества . Кроме того, Положим , . Тогда

Описанный процесс построения множеств завершается при выполнении условия . При этом

и функция H_i(z) оказывается определенной для всех элементов , причем, в силу способа построения, функция H_i(z) является неубывающей по предпочтению R_i. Таким образом, любой полный квазипорядок на конечном множестве исходов, действительно, представим неотрицательной вещественной функцией.

Введение функций полезности H₁(z) и H₂(z) (которые заведомо существуют в задачах с конечными множествами исходов, а также во многих задачах, содержащих бесконечное число исходов), фактически позволяет сторонам P₁ и P₂ иметь количественные оценки степени достижимости их целей при завершении операции в некотором исходе . Указанные функции в сочетании с зависимостью (1.1) позволяют ввести критерии эффективности

непосредственно связывающие стратегии и , выбираемые сторонами P₁ и P₂, и реализующиеся в ходе операции состояния природы с теми уровнями полезности, которые при этом достигаются.

Определение 1.2. Построенная модель, где о стратегиях x, y сторон P₁, P₂ и о состояниях природы u предполагается лишь то, что они являются элементами заданных множеств X, Y и U, на прямом произведении которых заданы критерии эффективности (1.12}, называется моделью операции в нормальной форме

Как следует из определения, модель операции в нормальной форме, представляющая собой совокупность вида

не предполагает явного описания процесса реализации стратегий и необходимых для этого ресурсов. Ее основное назначение, как уже отмечалось, состоит в том, чтобы связать выбранные сторонами конкретные стратегии и реализовавшееся состояние природы (неконтролируемое сторонами) с достигаемым каждой стороной уровнем полезности. Такое описание является достаточным для изучения одной из важнейших проблем теории принятия решений в условиях конфликта и неопределенности - проблемы характеризации эффективного поведения сторон в конфликте.

С одной стороны, введение критериев эффективности позволяет утверждать, что при заданной стратегии второй стороны и известном состоянии природы первая сторона заинтересована в выборе такой стратегии, которая максимизирует ее критерий, т.е. решает задачу

Однако, сторона , как уже говорилось, не контролирует выбор значений , и, более того, в общем случае, может не знать эти значения в момент выбора своей стратегии.

С другой стороны, сторона , выбирая свою стратегию , стремится максимизировать свой критерий эффективности, т.е. решает задачу

При этом очевидно, что задачи (1.14) и (1.15), в общем случае, являются существенно различными. Поэтому необходимы подходы, позволяющие предложить сторонам (или той стороне, которую представляет исследователь операции) рекомендации, обеспечивающие эффективное поведение в условиях несовпадения интересов. Рассмотрение таких подходов (применительно к моделям вида (1.13), характеризующим экономические взаимодействия) составляет основное содержание настоящей книги.