НОУ ИНТУИТ | Основы теории нечетких множеств. Лекция 3: Классы нечетких отношений

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 26.07.2006 | Уровень: специалист | Доступ: свободно

Вам нравится? Нравится 36 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Задачи нечеткой классификации

Пусть имеется набор фотографических портретов всех членов нескольких семей. Требуется разделить этот набор на группы так, чтобы в каждой оказались портреты членов только одной семьи. Пусть $f_{1}(x,y)$ — функция принадлежности нечеткого бинарного отношения сходства на заданном наборе фотографий. Для каждой пары фотографий и значение $f_{1}(x,y)$ есть субъективная оценка человеком степени сходства и . Это нечеткое отношение можно рассматривать как своего рода "экспериментальные данные", отражающие понимание человеком понятия "сходства" в данной задаче. Следующий этап — использование этих "данных" для требующейся классификации фотографий.

Заметим, что нечеткое отношение $f_{1}(x,y)$ обладает естественными свойствами рефлексивности и симметричности. Оно называется одношаговым отношением, в том смысле, что описывает результаты лишь попарного сравнения портретов друг с другом. Для $f_{1}(x,y)$ вводится -шаговое отношение $f_{n}(x,y)$ следующим образом:

$f_n (x,y) = \mathop {\sup }\limits_{x_1 \ldots x_{n - 1} \in X} \;\min \{ f_1 (x,x_1 ),\ldots ,f_1 (x_{n - 1} ,y)\} .$

Это отношение является

-арной композицией исходного "экспериментального" отношения $f_{1}(x,y)$ и представляет собой в некотором смысле его уточнение. Нетрудно показать, что для любых $x, y\in X$ выполняется цепочка неравенств

$0 \leqslant f_1 (x,y) \leqslant f_2 (x,y) \leqslant \ldots \leqslant f_n (x,y) \leqslant \ldots \leqslant 1,$

из которой следует, в частности, что для любых $x, y\in X$ последовательность $\{f_{k}(x,y)\}$ имеет предел при $k\to\infty$ . Таким образом, существует предельное отношение сходства, определяемое равенством

$f(x,y) = \mathop {\lim }\limits_{k \to \infty } \;f_k (x,y),\quad \t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;x,y \in X.$

Это предельное отношение является конечным результатом обработки результатов нечетких измерений $f_{1}(x,y)$ и следующим образом используется для классификации.

Для произвольного числа $\lambda$ ( $0<\lambda<1$ ) вводится обычное (не нечеткое) отношение $R_{\lambda}$ :

$R_\lambda (x,y)\quad \Leftrightarrow \quad f(x,y) \geqslant \lambda .$

Нетрудно показать, что для любого $\lambda$ ( $0<\lambda<1$ ) $R_{\lambda}$ есть отношение эквивалентности в , т.е. для любых $x, y\in X$ выполняются обычные аксиомы эквивалентности

(1) $R_{\lambda} (x,x)$ — рефлексивность,

(2) $R_{\lambda} (x,y) \Longrightarrow R_{\lambda} (y,x)$ — симметричность,

(3) $R_{\lambda} (x,y)\& R_{\lambda} (y,z) \Longrightarrow R_{\lambda} (x,z)$ — транзитивность.

Заметим, что (3) есть следствие того, что предельное нечеткое отношение f(x,y) обладает свойством нечеткой транзитивности

$f(x,z) \geqslant \min \{ f(x,y),f(y,z)\} ,\quad \quad \t{\char228}\t{\char235}\t{\char255}\;\t{\char226}\t{\char241}\t{\char229}\t{\char245}\;x,y,z \in X.$

Окончательный этап алгоритма классификации — разбиение множества на классы эквивалентности по полученному отношению $R_{\lambda}$ .

Выбор величины порога $\lambda$ в этом алгоритме осуществляется, исходя из условий начальной задачи. В приведенном выше примере с фотографиями этот выбор осуществляли следующим образом. Пусть имеется набор из 20 фотографий представителей 3 семей. Тогда величину $\lambda$ выбирают так, чтобы в результате реализации алгоритма классификации получилось 3 класса эквивалентности по отношению $R_{\lambda}$ .

Дальше >>

Основы теории нечетких множеств

Классы нечетких отношений

Задачи нечеткой классификации

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Основы теории нечетких множеств

Классы нечетких отношений

Задачи нечеткой классификации

Вопросы и ответы

Студенты