НОУ ИНТУИТ | Учебный видеокурс | Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Опубликован: 06.07.2010 | Уровень: для всех | Доступ: свободно

В курсе даются понятия производной и дифференциала функции одной переменной. Изучаются дифференциальные теоремы о среднем, формула Тейлора. Проводится исследование функций одной переменной.

В курсе рассматривается геометрический смысл производной, даётся определение касательной. Рассматриваются вопросы дифференцируемости функции, вычисляются производные сложной функции, обратной функции, основных элементарных функций. Вводятся понятия производной и дифференциала высших порядков. Доказываются теоремы Ролля, Лагранжа и Коши о средних значениях. Рассматриваются вопросы раскрытия неопределённостей с помощью правила Лопиталя. Изучаются формулы Тейлора и Маклорена. Даётся схема построения графика функции.

Предварительные курсы Введение в математический анализ
Дополнительные курсы Математический анализ. Ряды Дифференциальные уравнения Введение в математический анализ Математический анализ. Интегральное исчисление Математический анализ. Интегрирование Математический анализ Линейные дифференциальные уравнения и системы Дифференциальные уравнения и краевые задачи Приближенные и численные методы решения дифференциальных уравнений Математический анализ - 1 Математический анализ - 2

Вам нравится? Нравится 20 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Занятие	Заголовок <<	Дата изучения
	Экзамен экстерном	-
Лекция 1	Производная. Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Вводится понятие производной функции в точке, рассматривается её геометрический и физический смысл. Даются определение касательной и нормали к кривой и выводятся их уравнения. Понятия правой и левой производной функции в точке, бесконечной производной, гладкой функции рассматриваются на примерах. Вводится понятие дифференцируемой в точке функции, рассматривается связь дифференцируемости и существования производной. Доказывается непрерывность дифференцируемой функции. Даётся определение дифференциала функции и рассматривается его геометрический смысл. Оглавление Введение Производная Определение производной Приращение функции и аргумента Производная в точке Вычисление производной функции по определению Производная на интервале Геометрический смысл производной Касательная к кривой в точке Уравнение касательной и нормали. Пример Механический смысл производной Правая и левая производная Связь на примерах между односторонними производными и производной в точке Бесконечные производные. Пример Гладкая функция и кривая Угловая точка. Полукасательные Вертикальные касательные Дифференцируемость функции. Дифференциал функции Дифференцируемая в точке функция. Пример Теорема 1 о критерии дифференцируемости функции (доказательство) Теорема 2 о непрерывности дифференцируемой функции (доказательство) Примеры функций непрерывных в точке, но не дифференцируемых Дифференциал функции Дифференцируемость на интервале Геометрический смысл дифференциала	-
Тест 1 30 минут	10 заданий	-
Лекция 2	Дифференцирование суммы, произведения и частного. Производные некоторых основных элементарных функций. Дифференцирование сложной функции Даются правила дифференцирования суммы, произведения и частного двух функций. Вычисляются производные функций Доказывается правило дифференцирования сложной функции и рассматривается инвариантность формы дифференциала. Оглавление Введение Дифференцирование суммы, произведения и частного Производная суммы, разности, произведения и частного двух дифференцируемых функций (доказательство на примере произведения) Пример вычисления производной частного двух функций Следствие о выносе постоянного множителя за знак производной Следствие для производной суммы и произведения конечного числа функций Существенность условий теоремы Производные некоторых основных элементарных функций Производная показательной функции Производная логарифмической функции Производная степенной функции Производные тригонометрических функций Дифференцирование сложной функции Теорема 3 о дифференцирование сложной функции (доказательство) Примеры вычисления производной сложной функции Инвариантность формы дифференциал	-
Тест 2 24 минуты	8 заданий	-
Лекция 3	Понятие обратной функции. Производная обратной функции. Производные гиперболических функций. Логарифмическое дифференцирование. Применение дифференциалов в приближённых вычислениях Вводится понятие обратной функции и формулируется правило её дифференцирования. Вычисляются производные функций , а также гиперболических функций. Составляется таблица производных основных элементарных функций. Рассматривается приём логарифмического дифференцирования для отыскания производной сложной функции. Выводится формула для приближённого вычисления значения функции. Оглавление Введение Понятие обратной функции Обратная функция. Взаимно обратные функции. Примеры Возрастающая (убывающая) функция Теорема 4 о существовании обратной функции Теорема 5 о производной обратной функции (доказательство) Производные обратных тригонометрических функций Производные гиперболических функций Логарифмическое дифференцирование Производная степенно-показательной функции. Пример Применение дифференциалов в приближённых вычислениях Формула для приближенного вычисления	-
Тест 3 21 минута	7 заданий	-
Лекция 4	Производные высших порядков. Дифференциалы высших порядков. Дифференцирование функции, заданной параметрически. Вектор-функция скалярного аргумента Вводится понятие производной высшего порядка, определяются правила вычисления производных суммы и произведения функций. Даётся определение дифференциала высшего порядка и выводится его связь с производными. Рассматриваются функции, заданные параметрически, изучается вопрос их дифференцирования. Вводится понятие вектор-функции скалярного аргумента, её предела и непрерывности. Рассматривается производная вектор-функции по её аргументу. Формулируются правила дифференцирования. Оглавление Введение Производные высших порядков Производная n-го порядка. Примеры вычисления Бесконечно дифференцируемая функция. Примеры Механический смысл 2-й производной Производные высших порядков суммы и произведения функций. Пример Производная второго порядка для взаимно обратных функций Дифференциалы высших порядков Дифференциал n-го порядка Формула дифференциала n-го порядка через производную n-го порядка Вопрос об инвариантности формы дифференциала 2-го порядка Дифференцирование функции, заданной параметрически Плоская кривая, заданная параметрически. Пример Вывод формулы для производной функции, заданной параметрически Пример вычисления производной Вывод формулы для вычисления производной 2-го порядка функции, заданной параметрически Формула для производной n-го порядка функции, заданной параметрически. Пример Вектор-функция скалярного аргумента Определение вектор-функции скалярного аргумента Годограф вектор-функции. Векторное уравнение кривой. Параметрические уравнения кривой. Пример Предел вектор-функции Геометрический смысл предела вектор-функции Непрерывная вектор-функция Производная вектор-функции по её скалярному аргументу Определение производной вектор-функции. Дифференцируемая вектор-функция Направление производной вектор-функции Вывод формулы для вычисления производной вектор-функции Правила дифференцирования вектор-функции Производная постоянного вектора Производная суммы и разности Производная скалярного произведения векторов Производная векторного произведения векторов	-
Тест 4 24 минуты	8 заданий	-
Практическая работа 1	Производная. Правила и формулы дифференцирования Вычисляются производные функций по определению. Вычисляются производные функций с помощью арифметических правил и таблицы производных элементарных функций. Вычисляются производные сложных функций. Оглавление Введение Производная (определение) Задача 1 Правила (арифметические) и формулы дифференцирования Задача 2 Дифференцирование сложной функции Задача 3	-
Практическая работа 2	Правила и формулы дифференцирования. Геометрический и физический смысл производной Вычисляются производные степенно-показательных функций. Строятся касательные и нормали к графикам функции в точках, находится угол пересечения между кривыми. Решаются задачи, связанные со скоростью. Оглавление Введение Логарифмическое дифференцирование Геометрический смысл производной Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Физический смысл производной Задача 6 Задача 7 Задача 8	-
Практическая работа 3	Дифференцируемые функции и дифференциал. Приближенное вычисление значений функций Вычисляется дифференциал различных функций. С помощью дифференциала вычисляются приближённые значения функции. Оглавление Введение Дифференциал функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Вычисление приближённых значений с помощью дифференциала Задача 5 Задача 6 Задача 7	-
Лекция 5	Дифференцирование функций, заданных параметрически. Производная вектор-функции. Производные и дифференциалы высших порядков Вычисляются производные функций, заданных параметрически и производные вектор-функций. Вычисляются производные и дифференциалы высшего порядка для различных функций, в том числе для заданных параметрически. Оглавление Введение Производная функции, заданной параметрически Задача 1 Задача 2 Производная вектор-функции Задача 3 Производные высшего порядка Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Производная второго порядка функции, заданной параметрически Задача 5 Физический смысл производной второго порядка Задача 6 Дифференциал высшего порядка Задача 7	-
Лекция 6	Теоремы о среднем значении Формулируются и доказываются теоремы Роля, Лагранжа и Коши. Рассматриваются их взаимосвязь. Дается геометрическая интерпретация теорем Роля и Лагранжа. Оглавление Введение Теорема 1 Ролля (доказательство) Геометрическая интерпретация теоремы Ролля Существенность условий теоремы Роля на примерах Теорема 2 Лагранжа о конечных приращениях (доказательство) Связь теоремы Ролля и Лагранжа Геометрическая интерпретация теоремы Лагранжа Формула Лагранжа (формула конечных приращений) Пример применения теоремы Лагранжа Теорема 3 Коши (доказательство) Связь теорем Ролля, Лагранжа, Коши	-
Тест 5 21 минута	7 заданий	-
Лекция 7	Раскрытие неопределенностей (правило Лопиталя) Рассматриваются неопределенности при вычислении пределов, формулируется и доказывается правило Лопиталя для их раскрытия. Рассматривается применение правила Лопиталя при неопределtнностях. Рассматриваются конкретные примеры вычисления пределов. Оглавление Введение Виды неопределенностей Теорема 4 правило Лопиталя раскрытия неопределенностей 0/0 (доказательство) Пример раскрытия неопределенности 0/0 Замечание о существовании пределов отношения функций и производных. На примере Многократное применение правила Лопиталя Теорема 5 (2-е правило Лопиталя) Односторонние пределы и правило Лопиталя Теорема 6 раскрытие неопределенностей. Пример	-
Тест 6 18 минут	6 заданий	-
Лекция 8	Формула Тейлора. Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Выводится формула Тейлора для многочлена степени n, дается определение формулы Маклорена для многочлена. Вводится понятия формулы Тейлора для функции и вычисляется остаточный член в форме Лагранжа. Рассматривается остаточный член в форме Пеано. Раскладываются по формуле Маклорена некоторые элементарные функции. Получение асимптотических оценок для элементарных функций из формулы Маклорена. Оглавление Введение Вывод формулы Тейлора для многочлена степени n Формула Тейлора и формула Маклорена для многочлена степени n Пример разложения многочлена по степеням x, x-1 Многочлен Тейлора для функции y=f(x) Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом Вычисление остаточного члена формулы Тейлора Формула Тейлора для функции y=f(x) с остаточным членом в форме Лагранжа Связь формулы Тейлора и формулы Лагранжа Формула Маклорена для функции y=f(x) Формула Тейлора с остаточным членом в форме Пеано Разложение по формуле Маклорена некоторых элементарных функций Использование формулы Маклорена для получения асимптотических оценок элементарных функций и вычисления пределов	-
Тест 7 18 минут	6 заданий	-
Практическая работа 4	Теоремы о среднем. Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Решаются задачи на применение теорем Роля, Лагранжа и Коши. С помощью правила Лопиталя раскрытия неопределенностей вычисляются пределы. Оглавление Введение Теоремы о среднем Ролля, Лагранжа и Коши Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Правило Лопиталя раскрытия неопределенностей Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9 Задача 10 Задача 11 Задача 12 Задача 13 Задача 14 Задача 15	-
Практическая работа 5	Формула Тейлора Раскладываются функции по формуле Тейлора и Маклорена. С помощью разложений Тейлора вычисляются приближённые значения. Используя основные разложения, вычисляются пределы. Оглавление Введение Разложения многочлена по формуле Тейлора Задача 1 Задача 2 Разложение функций по формуле Тейлора и Маклорена Задача 3 Задача 4 Задача 5 Приближенные вычисления с помощью разложения Тейлора Задача 6 Задача 7 Асимптотические оценки элементарных функций при вычислении пределов Задача 8 Задача 9	-
Лекция 9	Признаки возрастания и убывания функции. Экстремум функции Дается определение монотонной функции и доказывается связь между интервалами знакопостоянства производной и монотонности функции. Изучаются достаточные условие возрастания функции в точке. Вводятся понятия локального экстремума, максимума и минимума. Рассматриваются необходимое и достаточное условия эстремума Проводится исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной. Оглавление Введение Признаки возрастания и убывания функции Невозрастающая, неубывающая функции Монотонная, строго монотонная функция Теорема 1 - критерий для неубывающей функции (доказательство) Теорема 2 - критерий для невозрастающей функции Связь интервалов знакопостоянства производной и монотонности функции Достаточное условие возрастания функции Возрастающая (убывающая) в точке функция Теорема 3 – достаточные условия возрастания и убывания функции в точке (доказательство) Экстремум функции Точка локального максимума (минимума) функции Локальный максимум (минимум) функции. Локальные экстремумы Точка строгого максимума (минимума) Пример разрывной функции с локальным экстремумом Теорема 4 - необходимое условие экстремума (доказательство) Геометрическая интерпретация теоремы 4 Критическая точка функции Связь между критическими точками и точками экстремума Теорема 5 - достаточное условие максимума (доказательство) Теорема 6 - достаточное условие минимума Существенность условий теоремы 5 и 6 на примере Правило 1 (отыскание экстремума функции) Пример исследования функции на экстремум Теорема 7 - исследование функций на максимум и минимум при помощи второй производной Правило 2 (отыскание экстремума функции). Пример	-
Тест 8 30 минут	10 заданий	-
Лекция 10	Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой Решается задача нахождения наибольшего и наименьшего значения функции. Вводятся понятия выпуклости вверх и вниз, точки перегиба кривой. Доказываются необходимое и достаточное условия точки перегиба. Оглавление Введение Выпуклость кривой, направленная вниз (вверх) Выпуклость на интервале Точка перегиба кривой Аналитический способ определения направления выпуклости Теорема 8 – необходимое условие точки перегиба Теорема 9 – достаточный признак точки перегиба (доказательство)	-
Тест 9 18 минут	6 заданий	-
Лекция 11	Асимптоты графика функции Даются определение асимптот: вертикальной, наклонной и горизонтальной. Доказываются формулы для вычисления коэффициентов наклонной асимптоты. Приводится схема построения графика функции. Оглавление Введение Асимптота кривой Вертикальные асимптоты. Пример Правило нахождения вертикальных асимптот Наклонные асимптоты Теорема 10 – формулы для нахождения наклонных асимптот (доказательство) Примеры нахождения наклонной асимптоты Горизонтальная асимптота. Примеры Схема построения графика функции	-
Тест 10 27 минут	9 заданий	-
Лекция 12	Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Проводится исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка. Формулируется достаточное условие точки перегиба с помощью производных высшего порядка. Рассматривается метод хорд и касательных для решения уравнения. Оглавление Введение Исследование функций на экстремум с помощью производных высшего порядка Теорема 11 - связь экстремума функции и производных высшего порядка (доказательство) Пример применения теоремы Теорема 12 – точка перегиба и производные высшего порядка Вычисление корней уравнений методами хорд и касательных Условия для существования единственного корня уравнения Принцип метода хорд и касательных Вывод формул для вычисления приближений Последовательность приближений корня уравнения Пример решения уравнения методом хорд и касательных	-
Тест 11 15 минут	5 заданий	-
Практическая работа 6	Монотонность функции. Локальные экстремумы Решаются задачи на нахождение интервалов возрастания и убывания функций. Проводится исследование функций на экстремум. Оглавление Введение Условия постоянства функции Задача 1 Условия монотонности функции Задача 2 Задача 3 Локальные экстремумы Задача 4 Задача 5 Задача 6 Задача 7 Задача 8 Задача 9	-
Практическая работа 7	Наибольшее и наименьшее значение функции, непрерывной на отрезке. Направление выпуклости и точки перегиба кривой. Асимптоты графика функции Применяется правило нахождения наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке. Решаются прикладные задачи. Определяются интервалы выпуклости и точки перегиба. Строятся асимптоты для графиков функций. Оглавление Введение Правило отыскания наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Задача 1 Решение прикладных задач Задача 2 Задача 3 Направление выпуклости и точки перегиба кривой Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5 Задача 6 Асимптоты графика функции Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4	-
Практическая работа 8	Построение графиков функции Проводится полное исследование функций и строятся их графики. Оглавление Введение Исследовать функции и построить их графики Задача 1 Задача 2 Задача 3 Задача 4 Задача 5	-
5 часов	Экзамен	-

Авторизоваться

Дифференциальное исчисление функций одной переменной

Предварительные курсы

Дополнительные курсы

План занятий