НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 8: Теорема Робертса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Второе доказательство

Второе доказательство использует другое условие монотонности и, естественно, пользуется при этом иным методом анализа. Мы должны также задействовать одно дополнительное условие [52].

Определение 8.5. Задим функцию социального выбора $f : \mathbf V\to\mathbb \mathcal O$ . Будем говорить, что игрок принимает решения, если для каждого $\mathbf v_{-i} \in \mathbf V_{-i}$ и $x \in \bA$ существует такая функция полезности $v_i \in V_i,$ что $f(v_i, \mathbf v_{-i}) = x$ .

Проще говоря, игрок может вынудить выбор любой из альтернатив для любой комбинации типов других игроков (например задавая "достаточно высокое" значение). Мы уже отмечали, что в том случае, когда существуют только две возможные альтернативы, принцип большинства (выбирать альтернативу большинством голосов, где игрок "подает голос" за по сравнению с выбирая v_i(x) > v_i(y) ) реализуем, и при таком подходе нет ни одного игрока, принимающего решения. Однако для трех и более альтернатив, как мы уже знаем из предыдущего доказательства, каждая выполнимая функция социального выбора должна допускать существование как минимум одного принимающего решения игрока. В дальнейшем мы будем пользоваться тем, что такой игрок существует.

Мы снова доказываем теорему Робертса — теорему 8.1.

Теорема 8.2. Пусть $|\mathcal O|\ge 3,$ и $\mathbf V$ не ограничено. Тогда для каждой правдиво реализуемой функции социального выбора существуют такие неотрицательные веса $k_1,\ldots,k_N,$ не все равные нулю, и такие константы C_x, $x\in\mathcal O,$ что для всех $\mathbf v\in \mathbf V$

$f(\mathbf v) \in argmax_{x\in\mathcal O}\left\{\sum_{i=1}^nk_iv_i(x) + C_x\right\}.$

Далее мы без потери общности будем считать, что игрок 1 решающий.

Введем важное обозначение: будем писать

$\mathbf v^\prime = \mathbf v + \epsilon 1_{i,x},$

или, что то же самое,

$\mathbf v^\prime = (v_i + \epsilon 1_{x}, \mathbf v_{-i}).$

То есть через $\mathbf v^\prime$ мы будем обозначать вектор, совпадающий с $\mathbf v$ за исключением того, что компонента v_i(x) увеличена на $\epsilon$ . А через e_j мы будем обозначать единичный вектор вдоль -й оси.

Предыдущее доказательство занималось анализом свойств множеств P(x,y) . Здесь мы будем рассматривать не множества, а числа, но числа, тоже достаточно хитро определенные. Следующее определение вводит основной объект нашего анализа [72,73].

Определение 8.6. Для каждых двух различных $x, y \in \mathcal O$ и для каждого $\mathbf v_{-i} \in \mathbf V_{-i}$ определим

$\delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i}) = \inf\left\{\vphantom{1^2} v^\prime_i(x) - v^\prime_i(y)\,\mid\, v^\prime_i \in V_i\text{ и }f(v^\prime_i, \mathbf v_{-i}) = x \right\}.$

По определению, если $f(\mathbf v) = x,$ то $v^\prime_i(x) - v^\prime_i(y) < \delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i})$ для всех $y \in \mathcal O$ . Иными словами, если зафиксировать $\mathbf v_{-i},$ то $\delta^{i}_{xy}(\mathbf v_{-i})$ — это минимальное значение разницы между и всякий раз, когда выбирает .

Пример 8.1. Для аукциона Викри обозначим через $o_i\in\mathcal O$ победу игрока в аукционе. Тогда v_1(o_1) — это ставка, которую ставит агент а v_1(o_j) для $j\neq 1$ равна нулю (полезность выигрыша любого другого агента для агента равна нулю). Таким образом, в аукционе Викри $\delta^i_{1, j}(\bf v_{-1})$ для всякого $j\neq 1$ — это ставка, которую должен сделать агент для того, чтобы выиграть аукцион.

Конец примера 8.1.

Теперь мы хотим исследовать структурные характеристики этого определения для случая неограниченной области и в конце концов показать, что $\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i})$ — это аффинная функция от разницы векторов $(\bvn 1(x) - \bvn 1(y))$ . Отсюда и воспоследует свойство аффинной максимизации. Но сначала — немного более техническая лемма, которая установит, что сумма значений $\delta$ по циклам небольшой длины равна нулю.

Лемма 8.9.

Для любого $\bf v_{-1} \in \bf V_{-1}$ и любых исходов $x, y \in\mathcal O$
$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) = 0.$
Для любого $\bf v_{-1} \in \bf V_{-1}$ и любых исходов $x, y, z \in \mathcal O$
$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) = 0.$

Доказательство. Сначала докажем, что для любого $\bf v_{-1} \in \bf V_{-1}$ и любых исходов $x, y \in O$ значение $\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1})$ определено (конечно), и

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \ge 0.$

Раз агент принимает решения, то, значит, существует такая функция полезности $v_{1} \in V_{1},$ что $f(v_1, \bf v_{-1}) = x$ . Тогда

$\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) \le v_1(x) - v_1(y) < \infty.$

Однако, поскольку агент опять же, принимает решения, существует и такая функция полезности $v^{*}_1,$ что $f(v^{*}_1, \bf v_{-1}) = y$ . Для каждого из тех $v^\prime_1 \in V_1,$ для которых $f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = x,$ мы по свойству W-MON знаем, что $v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y)$ . Следовательно,

$\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) > - \infty.$

Чтобы доказать, что $\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1})$ неотрицательно, зафиксируем произвольное $\epsilon > 0$ и рассмотрим такую $v^{*}_1 \in V_1,$ что

$f(v^{*}_1, \bf v_{-1}) = y\text{ и }v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) \le \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon,$

а также такую $v^\prime_1 \in V_1,$ что

$f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = x\text{ и }v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \le \delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon.$

По свойству W-MON мы имеем $v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y)$ . Тогда, значит,

$\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \epsilon \ge v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) \ge v^{*}_1(x) - v^{*}_1(y) \ge - \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) - \epsilon.$

Следовательно, для любого $\epsilon > 0$

$\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) + 2 \epsilon \ge 0,$

откуда и следует искомое неравенство.

Теперь можно доказать собственно утверждения леммы.

Достаточно показать, что $\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \le 0$ . Для каждых таких $\epsilon \ge 0$ и что $f(v_1, \bf v_{-1}) = x$ и $v_1(x) - v_1(y) = \epsilon + \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}),$ рассмотрим
$v^\prime_1 = v_1 + 3\epsilon \cdot 1_y + \epsilon \cdot 1_x$ .

Тогда $f(v^\prime_1,\bf v_{-1}) \in {x,y}$ по свойству W-MON. Однако $f(v^\prime_1,\bf v_{-1})$ не может быть равно так как

$v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) = (v_1(x) + \epsilon) - (v_1(y) + 3\epsilon) < \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1})$ .

Мы получили, что $f(v^\prime_1,\bf v_{-1}) = y$ . Но тогда

$\delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) \le v^\prime_1(x) - v^\prime_1(y) + 2 \epsilon = - \delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \epsilon,$

и, таким образом, $\delta^{1}_{xy}(\mathbf v_{-i}) + \delta^{1}_{yx}(\mathbf v_{-i}) \le \epsilon$ для каждого $\epsilon \ge 0$ .
Зафиксируем $\bf v_{-1}$ . Рассмотрим такие $v_1, v^\prime_1, v^{\prime\prime}_1,$ что
$f(v_1, \bf v_{-1}) = x,\quad f(v^\prime_1, \bf v_{-1}) = y,\quad f(v^{\prime\prime}_1, \bvn 1) = z$

(они существуют, потому что агент принимает решения). По правдивости,

$v_1(x) - p_1(x, \bf v_{-1}) &\ge& v_1(y) - p_1(y, \bf v_{-1}), \\ v^\prime_1(y) - p_1(y, \bf v_{-1}) &\ge& v^\prime_1(z) - p_1(z, \bf v_{-1}), \\ v^{\prime\prime}_1(z) - p_1(z, \bf v_{-1}) &\ge& v^{\prime\prime}_1(x) - p_1(x, \bf v_{-1}).$

(обратите внимание — опять вдруг откуда ни возьмись появляется парадокс Кондорсе!). Отсюда следует, что

$v_1(x) - v_1(y) + v^\prime_1(y) - v^\prime_1(z) + v^{\prime\prime}_1(z) - v^{\prime\prime}_1(x) \ge 0$ .

В частности,

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) \ge 0$ .

Теперь предположим, что существуют такая функция полезности $\bvn 1$ и такие исходы что

$\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) > 0$ .

По первому пункту этой леммы,

$[\delta^{1}_{xy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1})] + [\delta^{1}_{yz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zy}(\bf v_{-1})] + [\delta^{1}_{zx}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{xz}(\bf v_{-1})] = 0$ .

Таким образом,

$\delta^{1}_{xz}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{zy}(\bf v_{-1}) + \delta^{1}_{yx}(\bf v_{-1}) < 0,$

что приводит нас к противоречию.