НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 8: Теорема Робертса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Первое доказательство

Чтобы показать, что функция — это аффинный максимизатор, на самом деле нужно изучать разности. Это потому, что аффинная максимизация на самом деле эквивалентна системе неравенств

$\sum\limits_{i=1}^N k_i\left(\vphantom{1^2}v_i(x) - v_i(y)\right) \ge C_y - C_x,$

где $f(v) = x\neq y$ (рекомендуем читателю не лениться и проверить эту эквивалентность). Мы будем изучать структуру этих самых разностей.

Главное множество, которое мы будем изучать, — это

$P(x,y) = \left\{\vphantom{1^2}\alpha\in\mathbb R^N\mid \exists \mathbf v: \mathbf v(x) - \mathbf v(y) = \alpha, f(\mathbf v) = x\right\}.$

Проще говоря, если $f(\mathbf v) = x,$ то $\mathbf v(x) - \mathbf v(y)\in P(x,y)$ .

В течение доказательства мы увидим, какова структура множеств P(x,y), и в конце концов покажем, что P(x,y) — это полупространство. В частности, мы сделаем два важных замечания о структуре P(x,y) . Во-первых,

$\begin{equation} \alpha\in P(x,y)\text{ тогда и только тогда, когда }-\alpha\notin P(y,x), \end{equation}$

( 8.1)

причем внутренности P(x,y) и P(y,x) не пересекаются.

А во-вторых, для внутренних точек упомянутых множеств

$\begin{equation} P(x,y) + P(y, z) = P(x,z). \end{equation}$

( 8.2)

Для чего нужны эти свойства? Предположим, что $\bf 0\in P(x,y)$ для всех $x,y\in\mathcal O$ (на самом деле это не обязательно так, и нам позже придется сместить множества P(x,y) ). Тогда по второму условию все P(x,y) равны. Введем новое обозначение – пусть они равны . По первому условию $C\cup -C = \mathbb R^N$ : если $\alpha\notin C,$ то $-\alpha\in C$ . Также из первого условия следует, что — выпуклое множество: если $\frac12(\alpha+\beta)\notin C,$ то $-\frac12(\alpha+\beta)\in C,$ и тогда, используя второе условие, получаем, что $\alpha+\beta\in C,$ а значит, $\alpha + \beta - \frac12(\alpha+\beta)\in C$ . Противоречие.

Таким образом, и покрывают все пространство, выпуклы, и их внутренности не пересекаются. Это в точности означает, что они являются подпространствами.

Теперь, объяснив идею будущего доказательства, перейдем к нему самому. Начнем с простейших свойств P(x,y) . Так как — сюръекция, то P(x,y) непусто для любых и . Также,

$\begin{equation} \text{если }\alpha\in P(x,y),\text{ то }\forall\ \delta>\bf 0\in\mathbb R^N\quad \alpha+\delta\in P(x,y). \end{equation}$

( 8.3)

Чтобы это доказать, рассмотрим : f(v) = x и $\mathbf v(x) - \mathbf v(y) = \alpha$ . Увеличим $\mathbf v(x)$ на $\delta$ (мы можем это сделать, так как множества типов $\mathbf V$ у нас неограниченные), и получится, что $\alpha+\delta$ тоже будет лежать в P(x,y) .

Следующая лемма докажет нам свойство 8.1 для внутренних точек множества P(x,y) .

Лемма 8.4. Рассмотрим произвольные векторы $\alpha, \epsilon\in P(x,y)$ . Тогда

$\begin{array}{rlcl} \text{если }&\alpha-\epsilon\in P(x,y), & \text{ то } &-\alpha\notin P(y,x),\\ \text{а если }&\alpha\notin P(x,y), & \text{ то } &-\alpha\in P(y,x). \end{array}$

Доказательство. Сначала докажем первую часть леммы. Предположим противное: пусть, наоборот, $-\alpha\in P(y,x)$ . Тогда существует такой вектор типов $\mathbf v,$ что

$\mathbf v(y) - \mathbf v(x) = -\alpha,\text{ и }f(\mathbf v) = y.$

Но так как $\alpha-\epsilon\in P(x,y),$ то, значит, существует такой вектор типов $\mathbf v^\prime,$ что $\mathbf v^\prime(x) - \mathbf v^\prime(y) = \alpha-\epsilon,$ и $f(\mathbf v^\prime) = x$ . Тогда верно, что

$\mathbf v(x)-\mathbf v(y) = \alpha > \mathbf v^\prime(x) - \mathbf v^\prime(y) = \alpha-\epsilon,$

а это противоречит лемме 8.3. Вторая часть леммы доказывается абсолютно аналогично — ее мы оставим читателю.

Пока что мы доказали, что внутренние области P(x,y) и P(y,x) не пересекаются, и объединение P(x,y) и -P(y,x) составляет все пространство.

Отметим еще, что из свойства 8.3 следует, что граница у P(x,y) монотонно невозрастающая. Действительно, если граница будет возрастающей, то тогда мы сможем прибавить $\alpha$ к $\delta$ и попасть вне P(x,y) .

Осталось только показать, что границы являются гиперплоскостями, и тогда мы докажем все необходимые свойства P(x,y) . Также стоит показать, что P(x,y)=P(y,x) .

Следующая лемма — это доказательство свойства 8.2. В ней понятие "внутренней точки" приобретает исконный смысл, по определению: если $\alpha\in P(x,y)$ — внутренняя точка, то, значит, для всех достаточно коротких векторов $\epsilon^\alpha\in\mathbb R^N$ верно, что $\alpha-\epsilon^\alpha\in P(x,y)$ .

Лемма 8.5. Рассмотрим некоторые векторы $\alpha,\beta\in\mathbb R^N$ и некоторые векторы $\epsilon^\alpha, \epsilon^\beta\in\mathbb R^N,$ такие, что $\epsilon^\alpha,\epsilon^\beta>\bf 0$ . Тогда, если

$\alpha-\epsilon^\alpha\in P(x,y)\text{ и }\beta - \epsilon^\beta\in P(y, z),$

то

$\alpha+\beta-\frac{\epsilon^\alpha + \epsilon^\beta}2\in P(x,z).$

Доказательство. Выберем исход $w\neq x,y,z$ (обратите внимание — мы по делу пользуемся тем, что $|\mathcal O|>3$ !) и векторы $\delta^w\in P(x,w),$ $\epsilon>\bf 0\in\mathbb R^N$ . Также выберем такой вектор типов $\mathbf v,$ что

$\mathbf v(x)-\mathbf v(y) = \alpha - \frac{\epsilon^\alpha}2,\quad \mathbf v(y)-\mathbf v(z) = \beta - \frac{\epsilon^\beta}2,\quad \mathbf v(x)-\mathbf v(w) = \delta^w+\epsilon.$

Значит, они лежат в соответствующих множествах:

$\mathbf v(x)-\mathbf v(y)\in P(x,y),\quad \mathbf v(y)-\mathbf v(z)\in P(y,z),\quad \mathbf v(x)-\mathbf v(w)\in P(x,w).$

Тогда, по лемме 8.3, f(v)=x, и, следовательно,

$\alpha+\beta - \frac{\epsilon^\alpha + \epsilon^\beta}2 = \mathbf v(x) - \mathbf v(z),$

а $\mathbf v(x) - \mathbf v(z),$ несомненно, лежит в P(x,z) .

Вернемся к доказательству теоремы. Если бы было верно, что $0\in P(x,y),$ то мы бы уже доказали всю теорему, так как лемма 8.5, примененная к $\bf 0,$ доказывала бы, что внутренности всех P(x,y) равны. Мы бы доказали, что P(x,y) = P(w,w), прибавляя к какому-нибудь $\alpha$ нулевые векторы. Но нулевой вектор в P(x,y) лежать, конечно, не обязан.

Чтобы обойти эту досадную трудность, давайте возьмем каждое множество P(x,y) и сдвинем его на

$\gamma(x,y) = \inf\{p\in\mathbb R\mid p\cdot 1\in P(x,y)\},$

где $\bf 1$ — вектор из всех единиц. Число $\gamma(x,y)$ — это нижняя граница множества тех чисел, для которых гиперплоскость $\mid p\cdot \bf 1$ начинает пересекаться с P(x,y) . То есть рассмотрим множество P(x,y), подопрем его гиперплоскостью и начнем эту гиперплоскость понемногу опускать. Когда она наконец-то коснется P(x,y), ее коэффициент будет равен $\gamma(x,y)$ .