НОУ ИНТУИТ | Теория экономических механизмов. Лекция 4: Теорема об эквивалентности доходности

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 05.08.2011 | Уровень: профессионал | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 44 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: В этой лекции мы снова будем рассматривать аукционы. Для начала давайте вспомним и полностью перечислим условия, в которых проводится аукцион, и обозначения, которые мы вводили для разных связанных с этим величин.

Ключевые слова: множества, risk, neutral, агент, дисперсия, сделка, анализ, оптимальная стратегия, аукцион Викри, доходность, эквивалентность, значение, внутренняя стоимость, прибыль, выражение, равенство, максимум, дифференциальное уравнение, AND, go, formula, stay, e-auction, вывод, объединение, случайная величина, вероятность, интегрирование, условная вероятность, определение, прямой, стоимость, правило распределения, allocator, правило выплаты, e-payment, дифференциал, неравенство, доказательство, вторая производная, интеграл, equivalence, константы, объект, IPO, покупатель

Введение

Итак, в аукционе участвуют покупателей (агентов). У каждого из них есть своя внутренняя ценность x_i , которая определяется случайной величиной X_i , распределенной по одному и тому же распределению F(x) (в этой лекции мы будем находиться в симметричном случае). Первый момент множества из N-1 агентов, то есть случайную величину, характеризующую максимальную цену из них, обозначим через $G(x) = F(x)^{N-1}$ . Мы ограничимся стандартными аукционами, в которых вещь достается тому, кто больше всех предложил. При этом, конечно, то, сколько он в действительности заплатит, зависит от формы аукциона.

Для аукциона и агента введем обозначение $m_i^{\mathcal A}(x_i)$ — сколько участник ожидает заплатить, участвуя в и используя равновесную стратегию (предполагается, что равновесие в существует). Агенты в симметричном случае одинаковые, поэтому $m^{\mathcal A}$ не зависит от . Введем вдобавок начальное условие: участник со ставкой платит .

Кроме того, мы будем предполагать, что агенты нейтральны к риску (risk-neutral). Нейтральный к риску агент не делает разницы между распределениями своего дохода с разными дисперсиями. Проще говоря, для него заплатить 10$, чтобы с вероятностью $\frac{1}{2}$ получить 20$, — честная сделка с нулевым доходом. В случае, когда агенты осторожны (risk-averse) и надежный доход предпочитают случайным величинам, анализ всех этих ситуаций достаточно существенно меняется; мы сейчас не будем рассматривать эту ситуацию.

Теорема будет достаточно удивительной: окажется, что в любом равновесии ожидаемые выплаты агентов (а значит, и доход продавца) одинаковы! То есть можно не ожидать, что при помощи какой-нибудь хитрой схемы аукционер сможет максимизировать свой доход, — при эгоистичных агентах, которые могут успешно рассчитать оптимальную стратегию, доходы будут совершенно однаковыми. Впервые похожий эффект заметил основатель всей теории аукционов Викри [76,77]. А теорему независимо доказали Майерсон [55] и Райли и Самуэльсон [69].

Теорема эквивалентности доходности

Начнем с формулировки теоремы эквивалентности доходности, которая касается введенных выше обозначений. Мы будем устанавливать эквивалентность доходности в терминах "дохода продавца" Revenue, но доказывать будем для ожидаемых выплат каждого из агентов. Если агент участвует в аукционе $\mathcal A$ , его ожидаемая выплата равна

$m^{\mathcal A}_i(x) = \int_0^\omega\ldots\int_0^\omega m^{\mathcal A}_i(\mathbf x)d\mathbf x_{-i}.$

А ожидание дохода продавца получается как сумма всех ожидаемых выплат покупателей:

$\mathbf E[\mathrm{Revenue}] = \mathbf E\left[\sum\limits_{i=1}^N m^{\mathcal A}_i(x)\right] = N\mathbf E\left[m^{\mathcal A}(x)\right],$

если мы находимся в симметричном случае, где все агенты равноправны.

Теорема 4.1. Пусть скрытые значения агентов x_i распределены независимо и одинаково, и все агенты нейтральны к риску. Тогда любое симметричное равновесие любого стандартного аукциона, такое, что ожидаемая выплата агента со ставкой 0 равна нулю, дает один и тот же ожидаемый доход продавцу.

Доказательство. Будем следовать схеме, которую мы уже излагали в доказательстве теоремы 3.2. Рассмотрим первого агента: остальные следуют равновесной стратегии $\beta$ , а он ставит некоторое значение . Поскольку — тоже возможная ставка, существует некоторое , для которого $b=\beta(z)$ . Здесь можно рассматривать как "ложную" внутреннюю стоимость: можно считать, что агент делает ставку по стратегии $\beta$ , но просто подменяет свою истинную внутреннюю стоимость на .

Агент выигрывает, когда его ставка $\beta(z)$ превышает самую большую из других ставок $\beta(Y_1)$ , то есть (так как $\beta$ возрастает) когда z>Y_1 . Тогда игрок ожидает получить следующую прибыль:

$\Pi^{\mathcal A}(z,x) = G(z)x - m^{\mathcal A}(z),$

где $G(z)=F(z)^{N-1}$ (распределение Y_1 ). Заметим, что $m^{\mathcal A}(z)$ зависит от $\beta$ и от , но не зависит от внутренней ценности .

Нам нужно максимизировать прибыль, которую агент ожидает получить. Метод максимизации будет самый что ни на есть классический: взять производную и приравнять ее нулю. Дифференцируя выражение для ожидаемой прибыли по , получим следующее равенство:

$\frac{\partial}{\partial z}\Pi^{\mathcal A}(z,x) = g(z)x - \frac{d}{dz}m^{\mathcal A}(z)=0.$

Но мы находимся в равновесии, а это значит, что агенту нужно поступать в соответствии со стратегией $\beta$ , применяя ее к своей истинной скрытой ценности. Иначе говоря, максимум достигается, если агент берет z=x и сообщает $\beta(x)$ . Приравняв в предыдущем уравнении и , получим следующее:

$\frac{d}{dy}m^{\mathcal A}(y) = g(y)y.$

Когда мы найдем решение этого дифференциального уравнения, мы получим выражение для $m^{\mathcal A}(x)$ :

$m^{\mathcal A}(x) = m^{\mathcal A}(0) + \int_0^xyg(y)dy = \int_0^xyg(y)dy = G(x)\times \mathbf E[Y_1|Y_1<x].$

В итоге у нас получилось, что ожидаемая выплата агента не зависит от ${\mathcal A}$ , а только от распределения на . Поскольку ожидаемый доход продавца складывается из ожидаемых выплат агентов, получается, что этот доход тоже не зависит от ${\mathcal A}$ .

Давайте рассмотрим на простом примере, как можно подсчитать ожидаемые выплаты агентов и ожидаемую прибыль продавца.

Пример 4.1. Пусть скрытые значения агентов x_i распределены равномерно на [0,1] . Тогда F(x)=x , $G(x)=x^{N-1}$ , и из теоремы получается, что

$m^{\mathcal A}(x) &=& \frac{N-1}Nx^{N}, \\ \mathbf E[m^{\mathcal A}(x)] &=& \frac{N-1}{N(N+1)}.$

А ожидаемый доход продавца — это $N\cdot\mathbf E[m^{\mathcal A}(x)]$ :

$\mathbf E[R^{\mathcal A}] = \frac{N-1}{N+1}.$

Конец примера 4.1.

Математики говорят: "Theorems come and go, a good formula stays for ever" ("Теоремы приходят и уходят, хорошая формула остается навсегда"). Во время доказательства теоремы мы получили формулу для ожидаемой выплаты агента. Эта формула,

$m^{\mathcal A}(x) = m^{\mathcal A}(0) + \int_0^xyg(y)dy = G(x)\cdot \mathbf E[Y_1|Y_1<x],$

в будущем пригодится нам, разумеется, гораздо чаще, чем сама формулировка теоремы. Заметим, что формула действует только если равновесие в аукционе есть — это нужно проверять отдельно, а уже потом, если получилось, что равновесие есть, использовать эту формулу.

Два нестандартных аукциона

В качестве примеров применения теоремы эквивалентности доходности (точнее, волшебной формулы из предыдущего параграфа) рассмотрим два аукциона, которые окажутся весьма интересными и с математической, и с экономической точки зрения.

Пример 4.2. Рассмотрим аукцион, в котором платят все (по-английски такая ситуация называется all-pay auction). Здесь все агенты делают ставки, потом все платят, сколько поставили, а вещь при этом дают тому, кто заплатил больше. В таком аукционе ожидаемая выплата строго равна ставке. Поэтому если равновесие есть, оно должно быть таким:

$m^{\mathrm{allpay}}(x) = \int_0^xyg(y)dy = \beta^{\mathrm{allpay}}(x).$

Проверим, что это действительно равновесие (хотя бы по Нэшу). Пусть все играют по $\beta^{\mathrm{allpay}}$ , а один агент ставит . Тогда он получит

$G(z)x-\beta(z) = G(z)x - \int_0^zg(y)dy = G(z)(x-z) + \int_0^zG(y)dy.$

Это мы уже видели в лекции "Принцип выявления предпочтений" , когда рассматривали аукцион первой цены. Здесь тоже применим совершенно тот же вывод, и, следовательно, здесь тоже будет достигнуто равновесие.

Конец примера 4.2.

Наверное, читатели удивляются: кто ж согласится участвовать в таком невыгодном аукционе? Однако пример есть, и недалеко от поверхности. Этот аукцион представляет собой модель лоббирования: каждая из группировок, которые хотят добиться нужного результата в парламенте, платят за лоббирование, но результат-то один! Чуть менее чистый пример — рекламные кампании: все тратят деньги, а лидирующее положение на рынке занимает одна компания (это, правда, не всегда так).

Второй пример — аукцион, при анализе которого нам потребуется немного вспомнить математическую статистику.

Пример 4.3. В аукционе третьей цены все похоже на аукционы первой и второй цены — агенты делают ставки, побеждает тот, кто поставил больше всех, но победитель платит только третью сверху ставку, а не вторую и не первую. Здесь будет много интересного из статистики, а в конце получится довольно забавный результат.

Итак, наша магическая формула подсказывает:

$m^{\mathrm{III}}(x) = \int_0^xyg(y)dy.$

Игрок выигрывает, когда Y_1<x , и платит третью сверху цену. С учетом того, что равновесная стратегия $\beta^{\mathrm{III}}$ является неубывающей функцией, выплата выигравшего игрока будет равна $\beta^{\mathrm{III}}(Y_2)$ , где Y_2 — вторая сверху внутренняя ценность из оставшегося N-1 игрока.

Теперь на время забудем об аукционах и займемся статистикой. Найдем плотность второй порядковой статистики в выборке из элементов.

Событие Y_2<y — это объединение двух непересекающихся событий:

все меньше ;
величина из меньше , но один какой-то больше .

Следовательно, для функции распределения этой случайной величины мы получим следующее выражение:

$F^{(n)}_2(y) = F(y)^n + nF(y)^{n-1}(1-F(y)) = nF(y)^{n-1} - (n-1)F(y)^n,$

и, продифференцировав, получим плотность

$f^{(n)}_2(y) = F^{(n)^\prime}_2(y)= n(n-1)(1-F(y))F(y)^{n-2}f(y).$

Нас еще интересуют условные вероятности. Сначала — совместная вероятность; поскольку мы предполагаем, что все y_k независимы, ее плотность просто равна произведению плотностей:

$f^{(n)}_Y(y_1,y_2,...,y_n) = n!f(y_1)f(y_2)... f(y_n).$

Теперь построим формулу для $f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_k)$ :

$f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_k) = \frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n)dy_{k+1}\ldots dy_n} {(n-k)!}.$

Пределы интегрирования в этом выражении описывают тот факт, что переменные с $y_{k+1}$ до y_n должны оказаться меньше y_k . А в знаменателе стоит (n-k) !, потому что при подсчете интегралов мы посчитаем одни и те же события (n-k) ! раз (это получается из-за того, что формула совместной вероятности не различает значения переменных y_i , по которым идет интегрирование, друг относительно друга).

Теперь подставим формулу для совместной вероятности (с переменными) и проинтегрируем получившееся выражение. Интегрировать в данном случае — дело совсем нехитрое:

$\frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} f^{(n)}_Y(y_1,y_2,\ldots,y_n)dy_{k+1}\ldots dy_n} {(n-k)!} \\= \frac{\int^{y_k}_{-\infty}\ldots\int^{y_k}_{-\infty} n!f(y_1)f(y_2)\ldots f(y_n) dy_{k+1}\ldots dy_n} {(n-k)!} \\= \frac{n!F(y_k)^{n-k}f(y_1)f(y_2)\ldots f(y_k)}{(n-k)!}.$

Например, при k=2 мы получим следующее выражение:

$f_{1,2}^{(n)}(y_1,y_2) = n(n-1)f(y_1)f(y_2)F(y_2)^{n-2}.$

Теперь можно вывести формулу и для условной вероятности:

$f_2^{(n)}\left(z\mid Y_1^{(n)} = y\right) = \frac{f_{1,2}^{(n)}(y,z)}{f_{1}^{(n)}(y)} = \frac{n(n-1)f(y)f(z)F(z)^{n-2}}{nf(y)F(y)^{n-1}} = \\ = \frac{(n-1)f(z)F(z)^{n-2}}{F(y)^{n-1}} = \frac{f^{(n-1)}_1(z)}{F(y)^{n-1}}.$

Найдем условную вероятность второй порядковой статистики при условии первой; для этого выпишем определение условной вероятности, а затем упростим полученное выражение:

$f_2^{(n)}\left(y\mid Y_1^{(n)} < x\right) = \frac{\int^x_{y}f_{1,2}^{(n)}(z,y)dz}{F_{1}^{(n)}(x)} = \\ = \frac{1}{F_{1}^{(n)}(x)}\int^x_{y}n(n-1)f(z)f(y)F(y)^{n-2}dz = \\ = \frac{1}{F_{1}^{(n)}(x)}\left[n(n-1)F(z)f(y)F(y)^{n-2}\right]^y_x = \frac{n(F(x)-F(y))f_1^{(n-1)}(y)}{F_1^{(n)}(x)}.$

Получив таким образом условную вероятность второй порядковой статистики, можно уже подсчитать и ожидаемую выплату:

$m^{\mathrm{III}}(x) = F_1^{(N-1)}(x)\mathbf E\left[\beta^{\mathrm{III}}(Y_2)\mid Y_1<x\right] = \\ = \int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)(N-1)(F(x)-F(y))f_1^{(N-2)}(y)dy.$

Приравняем это выражение к тому, что дает нам полученная при доказательстве теоремы 4.1 формула:

$\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)(N-1)(F(x)-F(y))f_1^{(N-2)}(y)dy = \int_0^xyg(y)dy.$

Продифференцировав по , получим:

$(N-1)f(x)\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = xg(x),$

то есть

$(N-1)f(x)\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = (N-1)xf(x)F(x)^{N-2}.$

Так как $F^{N-2}_1(x) = F(x)^{N-2}$ , получается, что

$\int_0^x\beta^{\mathrm{III}}(y)f_1^{(N-2)}(y)dy = xF^{(N-2)}_1(x).$

Теперь продифференцируем это равенство по :

$\beta^{\mathrm{III}}(x)f_1^{(N-2)}(x) = xf^{(N-2)}_1(x) + F^{(N-2)}_1(x),$

а затем выразим отсюда $\beta^{\mathrm{III}}$ :

$\beta^{\mathrm{III}}(x) = x + \frac{F^{(N-2)}_1(x)}{f^{(N-2)}_1(x)} = x + \frac{F(x)}{(N-2)f(x)}.$

Итак, мы получили итоговую формулу оптимальной стратегии:

$\beta^{\mathrm{III}}(x) = x + \frac{F(x)}{(N-2)f(x)}.$

К сожалению, это все верно, только когда $\beta$ возрастает; а для этого, как видно из этой же формулы, надо, чтобы F/f возрастало. Иначе говоря (вспомним, что — это производная , то есть f/F — это производная $\ln F$ ), $\ln F$ должен быть вогнутой функцией (в такой ситуации говорят, что log-вогнута, log-concave).

А обещанный интересный эффект вот в чем. У нас получилось, что $\beta^{\mathrm{III}}(x)$ всегда строго больше , а это значит, что агенту всегда оптимально ставить строго больше, чем свое истинное значение скрытой ценности. Несколько неожиданно, но в общем вполне логично: можно ожидать, что уж третий-то сверху окажется ниже истинной стоимости.

Конец примера 4.3.

Дальше >>

Теория экономических механизмов

Теория экономических механизмов