Доходы аукционов с зависимыми ценностями

Английский аукцион

Нам удалось доказать, что для аукциона второй цены равновесные стратегии задаются формулой , где

В этой лекции мы рассмотрим еще две модели аукционов — английский и первой цены — а затем сравним их друг с другом с точки зрения доходов. Наконец, в разделе "10.5" , мы посмотрим насколько эффективными будут аукционы с зависимыми ценностями (окажется, что крайне неэффективными, но мы, опять же, введем дополнительное условие, и жизнь станет проще).

Итак, английский аукцион. В английском аукционе дополнительным источником информации для агента является то, когда другие агенты выходят из игры. В зависимости от этого стратегии активных участников аукциона могут меняться по ходу его проведения.

В такой ситуации уже нет смысла говорить о единой оптимальной стратегии. Симметрическая равновесная стратегия превращается в набор

из функции. Каждая его компонента представляет собой функцию переменных — цену, на которой игрок должен выйти из игры при условии, что его сигнал равен , в игре остались еще агентов, а цены остальных вышедших составляли .

Опишем следующую стратегию для агентов. Во-первых, вначале, когда все агенты еще активны, положим

(напомним, что — это ценность объекта, которая в случае аукционов с зависимыми ценностями оказывается функцией от всех сигналов). Заметим, что непрерывна и возрастает.

Пусть агент выходит из аукциона на цене . Тогда положим

где — такое значение сигнала, что (оно всегда единственно, так как непрерывна и возрастает).

По аналогичному принципу строятся и остальные . А именно, если из игры уже вышли агенты с номерами , то

где определяется из условия

Неформально смысл описанной стратегии очень прост. Всякий раз игрок определяет, стоит ли ему продолжать игру при текущей ставке . Он спрашивает себя: "Что будет, если я сейчас выиграю аукцион?". Аукцион прямо сейчас выиграть возможно лишь в том случае, когда все остальные агенты прямо сейчас, на ставке , решат выйти из игры. Предполагая, что они действуют по аналогичной стратегии, можно определить их скрытые сигналы для такого случая из условия

А зная скрытые сигналы всех агентов, можно определить ценность объекта . Очевидно, что продолжать игру стоит тогда и только тогда, когда эта ценность больше, чем .

Теорема 10.1. Описанная выше стратегия является симметричной равновесной для английского аукциона.

Доказательство. Пусть , и все остальные агенты, кроме первого, играют по стратегии . Рассмотрим значения .

Пусть таковы, что агент 1 при следовании стратегии выигрывает объект (то есть ). В этом случае цена, которую заплатит первый агент, — это цена, на которой из аукциона выходит агент с сигналом , то есть . Так как , то выгода игрока будет положительной:

Так как игрок 1 не может повлиять на цену, которую ему придется заплатить, то лучшего результата, чем от использования стратегии , ему в этом случае все равно не добиться (классическое рассуждение, оно часто помогает в анализе аукционов).

Если же агент не выигрывает вещь при использовании (то есть если ), то в случае, если он все-таки решит выиграть аукцион, его доход будет отрицательным:

Таким образом, игроку никогда не выгодно отклоняться от .

Особенность описанного выше равновесия заключается в том, что оно зависит только от оценочной функции и никак не зависит от распределения сигналов . Таким образом, для каждого конкретного равновесие не сместится, если изменить распределение сигналов.

Как мы уже обсуждали, в таком случае говорят, что стратегии образуют равновесие ex post. Такое равновесие лучше, чем равновесия ex ante и interim; в частности, оно обеспечивает свойство отсутствия сожаления (no regret). Проще говоря, даже если после завершения торгов все агенты раскроют точные значения своих сигналов, то никто из них не будет жалеть о своем выборе стратегии: выигравший агент останется с положительной выгодой, а проигравшие поймут, что даже если бы они повысили ставку и выиграли аукцион, они остались бы в убытке.