НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 13: Центральная предельная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Примеры использования ЦПТ

Пример 72. Задача из примера 71. Требуется найти

$\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|\ge 0{,}01\right),$

где $n=10\,000$ , $\nu_n$ - число выпадений герба. Вычислим вероятность дополнительного события. Домножим обе части неравенства под знаком вероятности на $\sqrt{n}=100$ и поделим на $\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}=1/2$ .

$\begin{multiline*} \Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|< 0{,}01\right) =\Prob\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}} \left|\frac{\nu_n}{n}-p\right|< 0{,}01 \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}}\right) = \\ =\Prob\left(\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{p\mspace{2mu}(1-p)}} \left|\frac{\nu_n}{n}-p\right|< 2\right)= \Prob\left(-2< \frac{\nu_n-np}{\sqrt{np\mspace{2mu}(1-p)}} < 2\right) \approx \\ \approx \Phi_{0,1}(2)-\Phi_{0,1}(-2) = 1- 2\Phi_{0,1}(-2) =1- 2\cdot 0{,}0228=1-0{,}0456. \; \end{multiline*}$

Искомая вероятность примерно равна

:

$\Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|\ge 0{,}01\right)=1- \Prob\left(\left|\frac{\nu_n}{n}-\frac12\right|< 0{,}01\right) \approx 0{,}0456.$

Центральной предельной теоремой пользуются для приближенного вычисления вероятностей, связанных с суммами большого числа независимых и одинаково распределенных величин. При этом распределение центрированной и нормированной суммы заменяют на стандартное нормальное распределение. Насколько велика ошибка при такой замене (погрешность приближения)?

Упражнение. Какие еще предельные теоремы для схемы Бернулли вы знаете? Что такое теорема Пуассона? Найти ее. Какова погрешность пуассоновского приближения? Вычислить ее. Объяснить, почему теорема Пуассона не применима в задаче из примера 72.

В примере 72 мы вычислили вероятность приближенно. Следующий результат позволяет оценить погрешность приближения в ЦПТ.

Теорема 42 (неравенство Берри - Эссеена). В условиях ЦПТ для любого $x\in\mathbb R$ и для любого распределения $\xi_1$ с конечным третьим моментом

$\left| \Prob\left(\frac{\displaystyle S_n - n{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut n\,{\mathsf D\,}\xi_1}}} <x\right) - \Phi_{0,1}(x) \right| \le C\cdot \frac{{\mathsf E\,}{\displaystyle |\xi_1-{\mathsf E\,}\xi_1|}^3} {\sqrt{\smash[b]{\mathstrut n}}{\bigl(\sqrt{\smash[b]{\mathstrut {\mathsf D\,}\xi_1}}\,\bigr)}^3}.$

Замечание. В качестве постоянной можно брать число 0{,}4 .

Продолжение примера 72 Проверьте, что для случайной величины $\xi_1$ с распределением Бернулли

${\mathsf E\,}{|\xi_1-{\mathsf E\,}\xi_1|}^3={|0-p|}^3 \Prob(\xi_1=0)+ {|1-p\,|}^3 \Prob(\xi_1=1)=p\mspace{2mu}q(p^2+q^2).$

Поэтому разница между левой и правой частями приближенного равенства " $\approx$ " в примере 72 при n=10^4

и $p=q=\frac12$ не превышает величины

$C\cdot \frac{p\mspace{2mu}q(p^2+q^2)}{\sqrt{\smash[b]{npq}}{\left(\sqrt{\smash[b]{pq}}\right)}^3}= C\cdot \frac{p^2+q^2}{\sqrt{\smash[b]{\mathstrut n\vphantom{pq}}}\,\sqrt{\smash[b]{pq}}}\le 0{,}4\cdot \frac{1}{100}=0{,}004,$