НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 13: Центральная предельная теорема

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Центральная предельная теорема

Мы будем называть следующее утверждение "ЦПТ Ляпунова", но сформулируем и докажем теорему Ляпунова только в частном случае - для последовательности независимых и одинаково распределенных случайных величин. Как и ранее, через S_n обозначена сумма первых случайных величин в последовательности: $S_n=\xi_1+\ldots+\xi_n$ .

Теорема 40 (ЦПТ Ляпунова). Пусть $\xi_1,\,\xi_2,\,\ldots$ - независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией: $0<{\mathsf D\,}\xi_1\ <\infty$ . Тогда имеет место слабая сходимость

$\frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{\mathstrut n\,{\mathsf D\,}\xi_1}}\Rightarrow {\mathrm N}_{0,1}$

последовательности центрированных и нормированных сумм случайных величин к стандартному нормальному распределению.

Пользуясь определением и свойствами слабой сходимости и заметив, что функция распределения $\Phi_{a,\sigma^2}(x)$ любого нормального закона непрерывна всюду на $\mathbb R$ ( почему?), утверждение ЦПТ можно сформулировать любым из следующих способов.

Следствие 18. Пусть $\xi_1,\xi_2,\ldots$ - независимые и одинаково распределенные случайные величины с конечной и ненулевой дисперсией. Тогда выполнены утверждения:

для любых вещественных при $n\to \infty$ имеет место сходимость
$\Prob \left(x\le\frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{\mathstrut n\,{\mathsf D\,}\xi_1}} \le y\right) \to \Phi_{0,1}(y)-\Phi_{0,1}(x)= \int\limits_x^y \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,dt;$
если $\eta$ - произвольная случайная величина со стандартным нормальным распределением, то
$\sqrt{n}\,\left(\frac{S_n}{n}-{\mathsf E\,}\xi_1\right)= \frac{S_n-n\,{\mathsf E\,}\xi_1}{\sqrt{n}}\Rightarrow \sqrt{{\mathsf D\,}\xi_1}\cdot\eta{\,\sim\,} {{\mathrm N}}_{0,{\mathsf D\,}\xi_1}.$

Мы докажем центральную предельную теорему и закон больших чисел в форме Хинчина в следующей лекции. Нам потребуется для этого познакомиться с мощным математическим инструментом, который в математике обычно называют преобразованиями Фурье, а в теории вероятностей - характеристическими функциями.

Получим в качестве следствия из ЦПТ Ляпунова предельную теорему Муавра и Лапласа. Подобно ЗБЧ Бернулли, это утверждение годится только для схемы Бернулли.

Теорема 41 (предельная теорема Муавра - Лапласа). Пусть событие может произойти в любом из независимых испытаний с одной и той же вероятностью и пусть $\nu_n(A)$ - число осуществлений события в испытаниях. Тогда

$\frac{\nu_n(A)-np}{\sqrt{np\mspace{2mu}(1-p)}}\;\Rightarrow \;{\mathrm N}_{0,1} \text{\; при \;} n\to \infty,$

т.е. для любых вещественных x<y

имеет место сходимость

$\Prob \left(x\le\frac{\nu_n(A)-np}{\sqrt{np\mspace{2mu}(1-p)}} \le y\right) \to \Phi_{0,1}(y)-\Phi_{0,1}(x)= \int\limits_x^y \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-t^2/2}\,dt;$

Доказательство. Величина $\nu_n(A)$ есть сумма независимых, одинаково распределенных случайных величин, имеющих распределение Бернулли с параметром, равным вероятности успеха : $\nu_n(A)=\xi_1+\ldots+\xi_n$ , где ${\mathsf E\,}\xi_1=p$ , ${\mathsf D\,}\xi_1=p\mspace{1mu}(1-p)$ . Осталось воспользоваться ЦПТ.