НОУ ИНТУИТ | Введение в теорию вероятностей. Лекция 6: Случайные величины и их распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 07.04.2008 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 73 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Теорема 20. Если функция обладает свойствами (f1) и (f2), то существует вероятностное пространство и случайная величина $\xi$ на нем, для которой является плотностью распределения.

Доказательство. Пусть $\Omega$ - область, заключенная между осью абсцисс и графиком функции . Площадь области $\Omega$ равна единице по свойству (f2). Возьмем в качестве $\mathcal F$ множество борелевских подмножеств $\Omega$ , а в качестве вероятности $\Prob$ - меру Лебега (площадь) на множествах из $\mathcal F$ . И пусть случайная величина $\xi$ - абсцисса точки, наудачу брошенной в эту область. Тогда для любого $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ выполнено

$\begin{equation}\Prob(\xi\in B) = \Prob(\text{точка попала в } D_B)= \frac{\text{ площадь } D_B}{\text{ площадь } \Omega} = \smash{\int\limits_B}\; f(x) dx. \end{equation} \begin{figure}[h] \centering{ } \end{figure}$

( 6.2)

Рис. 6.1.

Здесь область D_B есть криволинейная трапеция с основанием под графиком плотности ( рис. 6.1). По определению, равенство (6.2) означает, что функция является плотностью распределения величины $\xi$ .

Отметим полезное свойство абсолютно непрерывных распределений.

Свойство 7. Если случайная величина $\xi$ имеет абсолютно непрерывное распределение, то $\Prob(\xi=x)=0$ для любого $x\in\mathbb R$ .

Доказательство сразу следует из определения 24 и следующего за ним замечания: интеграл по области интегрирования, состоящей из одной точки, равен нулю.

Можно выделить еще один особый класс распределений, сосредоточенных, в отличие от абсолютно непрерывных распределений, на множестве нулевой меры Лебега, но не имеющих, в отличие от дискретных, атома ни в одной точке этого множества.

Определение 25. Случайная величина $\xi$ имеет сингулярное распределение, если существует борелевское множество с нулевой лебеговой мерой $\lambda(B)=0$ такое, что $\Prob(\xi\in B)=1$ , но при этом $\Prob(\xi=x)=0$ для любой точки $x\in B$ .

Можно отметить следующее свойство сингулярных распределений. Множество , на котором сосредоточено все распределение, не может состоять из конечного или счетного числа точек. Действительно, если конечно или счетно, то $\Prob(\xi\in B)=\sum \Prob(\xi=x_i)$ , где суммирование ведется по всем $x_i\in B$ . Последняя сумма равна нулю как сумма счетного числа нулей, что противоречит предположению $\Prob(\xi\in B)=1$ .

Таким образом, любое сингулярное распределение сосредоточено на несчетном множестве с нулевой мерой Лебега. Примером такого множества может служить канторовское совершенное множество, а примером такого распределения - лестница Кантора (см. ниже).

Наконец, распределение может быть выпуклой линейной комбинацией дискретного, абсолютно непрерывного и сингулярного распределений.

Определение 26. Случайная величина $\xi$ имеет смешанное распределение, если найдутся такие случайные величины $\xi_1$ , $\xi_2$ и $\xi_3$ - с дискретным, абсолютно непрерывным и сингулярным распределениями соответственно (или такие три распределения), и числа ${p\mathstrut}_1,\,{p\mathstrut}_2,\,{p\mathstrut}_3\in[0,\,1)$ , ${p\mathstrut}_1+{p\mathstrut}_2+{p\mathstrut}_3=1$ , что для любого $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ имеет место равенство

$\Prob(\xi\in B)={p\mathstrut}_1\,\Prob(\xi_1\in B)+{p\mathstrut}_2\,\Prob(\xi_2\in B)+{p\mathstrut}_3\,\Prob(\xi_3\in B).$

По заданным на одном вероятностном пространстве случайным величинам $\xi_1$ , $\xi_2$ , $\xi_3$ и числам ${p\mathstrut}_1+{p\mathstrut}_2+{p\mathstrut}_3=1$ можно построить случайную величину со смешанным распределением так: пусть $\phi$ - случайная величина на том же вероятностном пространстве с дискретным распределением $\Prob(\phi=k)={p\mathstrut}_k$ для $k=1,\,2,\,3$ , и пусть при любом и любом $B\in\mathfrak{B}(\mathbb R)$ события $\{\phi=k\}$ и $\{\xi_k\in B\}$ независимы.

Построим случайную величину $\xi$ так: если $\phi(\omega)=k$ , то положим $\xi(\omega)=\xi_k(\omega)$ . Ее распределение найдем по формуле полной вероятности: