НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 3: Регулярные позиномы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 662 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00

Специальности: Программист

Теги: beta, базисными векторами, безопасность, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, книги, линейное программирование, модель задач, обобщенный полином, оптимальное решение задачи, поддержка, программирование, рабочая книга, свойства множества, теория, форматы, число независимости

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

$\begin{array}{lrl} 2-3 x_{1}^{-2}+2 x_{1}&=&0, \\ -4 x_{2}^{-3}+3-x_{2}^{-2}&=&0. \end{array}$

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является $x_{1}^{*} = 0.89$ , следовательно,

$\overline{G}_{1}=\min_{x_{1}>0} g_{1}(x_1) = g_{1}(0.89)= 5.94.$

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является $x_{2}^{*} = 1.20$ , следовательно,

$\overline{G}_{2}=\min_{x_{2}>0} g_{2}(x_2) = g_{2}(1.20) = 5.82.$

Верхняя оценка позинома равна

$\overline{G} =\min_{j=\overline{1,2}}\overline{G_j} = \min\{5.94,\ 5.82\}=5.82.$

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

$5\le \min_{x>0}g(x)\le 5.82.$

Заметим, что в данном примере верхняя оценка 5.82 , достаточно близка к минимальному значению позинома, которое равно 5.74 . Разность составляет

$\frac{5.82-5.74}{5.74}= 1.39\%.$

Рассмотрим еще один пример.

Пример 26 Вычислим оценки позинома из примера 9 ( "Неравенство Коши и его обобщения" ):

$g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} + 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$

Вычислим сначала нижнюю оценку позинома. Для этого представим второй моном $6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}$ как сумму двух мономов:

$6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} = 5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+0.6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}.$

Теперь позином имеет вид:

$g(x)= 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} +5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+0.6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.$

Возьмем S=[1, 2, 4 , 5] . Позином

$g_s(x)= 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} +5.4 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2}+3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}$

является регулярным, так как для него выполнены следующие равенства:

$\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 1} = 4-10.8+3.8+3=0,$

$\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 2} = 12-5.4-7.6+1=0.$

$\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 3} = -8+10.8-3.8+1=0.$

Следовательно, его минимум вычисляется по формуле:

$\underline{G}_s=\min_{x>0} g_s(x) = \sum\limits_{i\in S}c_{i}=4+5.4+3.8+1=14.2.$

Таким образом, получили нижнюю оценку для позинома $\underline{G}= \underline{G}_s= 14.2$ .

Вычислим теперь верхнюю оценку минимума позинома. Позином состоит из трех компонент:

$\begin{array}{rrl} g_{1}(x_1) &=& 4 x_{1}+6 x_{1}^{-2}+3.8 x_{1}+x_{1}^{3}, \\ g_{2}(x_2)&=&4 x_{2}^{3}+6 x_{2}^{-1}+3.8 x_{2}^{-2}+x_{2}, \\ g_{3}(x_3)&=&4 x_{3}^{-2}+6 x_{3}^{2}+3.8 x_{3}^{-1}+x_{3}, \end{array}$

Вычислим минимумы компонент позинома. Для каждой компоненты запишем производную:

$\begin{array}{rrl} g_{1}^{'}(x_1)& =&4-12 x_{1}^{-3}+3.8+3 x_{1}^{2}, \\ g_{2}^{'}(x_2)&=&12 x_{2}^{2}-6 x_{2}^{-2}-7.6 x_{2}^{-3}+1, \\ g_{3}^{'}(x_3)&=&-8 x_{3}^{-3}+12 x_{3}-3.8 x_{2}^{-2}+1. \end{array}$

В точке минимума компоненты ее производная обращается в нуль. Решим уравнения (например, с помощью надстройки Поиск решения (Solver) в Excel ):

$\begin{array}{lrl} 4-12 x_{1}^{-3}+3.8+3 x_{1}^{2}&=&0, \\ 12 x_{2}^{2}-6 x_{2}^{-2}-7.6 x_{2}^{-3}+1&=&0, \\ -8 x_{3}^{-3}+12 x_{3}-3.8 x_{3}^{-2}+1&=&0. \end{array}$

Для первой компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является $x_{1}^{*} = 1.03$ , следовательно,

$\overline{G}_{1}=\min_{x_{1}>0} g_{1}(x_1) = g_{1}( 1.03)= 14.78.$

Для второй компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является $x_{2}^{*} = 1.01$ , следовательно,

$\overline{G}_{2}=\min_{x_{2}>0} g_{2}(x_2) = g_{2}(1.01) = 14.80.$

Для третьей компоненты единственной стационарной точкой в области x>0 является $x_{3}^{*} = 0.97$ , следовательно,

$\overline{G}_{3}=\min_{x_{3}>0} g_{3}(x_3) = g_{3}(0.97) = 14.78.$

Верхняя оценка позинома равна

$\overline{G} =\min_{j=\overline{1,3}}\overline{G_j} = \min\{14.78, 14.80, 14.78\}=14.78.$

Таким образом, вычислив оценки, мы установили, что

$14.2\le \min_{x>0}g(x)\le 14.78.$

Заметим, что в данном примере верхняя оценка 14.78 совпала с минимальным значением позинома.

Краткие итоги

Введено понятие регулярного позинома. Описаны свойства регулярных позиномов. Приведена теорема минимизации регулярных позиномов. Сформулирована главная теорема о позиномах. Описан процесс вычисления оценки минимума позинома.

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Регулярные позиномы

Краткие итоги

Вопросы и ответы