НОУ ИНТУИТ | Введение в геометрическое программирование. Лекция 3: Регулярные позиномы

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Санкт-Петербургский государственный университет

Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 663 / 131 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00

Специальности: Программист

Теги: beta, базисными векторами, безопасность, вычисления, двойственная задача, задача линейного программирования, книги, линейное программирование, модель задач, обобщенный полином, оптимальное решение задачи, поддержка, программирование, рабочая книга, свойства множества, теория, форматы, число независимости

|

Вам нравится? Нравится 15 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Оценки минимума позинома

Учитывая главную теорему о позиномах, мы далее будем говорить о минимумах, опуская прилагательное глобальный.

Задачи, которые рассматриваются в этом курсе, заключаются в нахождении значения минимума позинома и одной или всех точек, в которых он достигается, разумеется, если таковые имеются. Однако в ряде случаев бывает достаточно (или полезно) знать не точное значения минимума, а его оценки. Приведем сначала необходимые определения.

Нижней оценкой функции g(x) называется любое вещественное число $\underline{G}$ , для которого при любом из области определения функции g(x) выполнено неравенство $g(x)\ge \underline{G}$ . Очевидно, что любая нижняя оценка функции является нижней оценкой минимума этой функции и наоборот.

Не так обстоит дело с верхними оценками. Верхней оценкой минимума функции g(x) называется любое вещественное число $\overline{G}$ , для которого выполнено неравенство $\min g(x)\le \overline{G}$ . Очевидно, что любая верхняя оценка функции является верхней оценкой ее минимума, но не любая верхняя оценка минимума является верхней оценкой функции.

Знание оценок минимума позинома бывает полезно по двум основным причинам. Во-первых, во многих алгоритмах вычисления организованы таким образом, что знание оценок часто сокращает время работы алгоритма. Во-вторых, в ряде случаев, когда разность $\overline{G} - \underline{G}$ мала, можно не вычислять точное значение минимума, положив $\min g(x) \approx \overline{G}$ .

Обсудим сначала получение нижних оценок. Обозначим через g_s(x) - позином, являющийся суммой только тех из мономов (образующих позином g(x) ), номера которых включены в множество :

$g_s(x)=\sum\limits_{i\in S}u_{i},\ S\subset I.$

Обозначим через

$\underline{G}_s=\min_{x>0} g_{s}(x).$

Так как $g(x)\ge g_s(x)$ при любом x>0 , то любая из величин $\underline{G}_s$ является нижней оценкой для минимума g(x) :

$\min_{x>0} g(x)\ge \underline{G}_s,\ \forall S\subset I.$

При $S=\emptyset$ полагаем $g_s(x)\equiv 0$ и получаем тривиальную нижнюю оценку $\underline{G}=0$ . На практике в качестве следует выбирать подмножества, для которых величина $\underline{G}_s$ легко вычисляется, например, когда позином g_s(x) является регулярным.

Перейдем теперь к обсуждению верхних оценок. Верхней оценкой минимума позинома является его значение при любом x> 0 . Так как проще всего вычислить значение позинома в точке $x_1 = x_2 = \ldots = x_m = 1$ , то в качестве тривиальной верхней оценки обычно берут

$\overline{G}_0 = g(1,\ldots, 1) = \sum\limits_{i = 1}^{n}c_{i}.$

Прежде, чем описать, как можно вычислить более точные верхние оценки позинома, напомним, что компонентами позинома g(x) называются позиномы $g_{j} (x_j)$ :

$g_{j} (x_j) = \sum\limits_{i=1}^{n}c_{i}x_{j}^{a_{ij}},\ j=\overline{1,m}.$

Заметим, что позиномы $g_{j} (x_j)$ получаются в результате выполнения следующей замены переменных:

$g_{j} (x_j) = g(1,\ldots, 1, x_j, 1, \ldots, 1),\ j=\overline{1,m}.$

Более точную верхнюю оценку можно получить, вычислив минимумы компонент позинома $g_{j} (x_j)$ , которые являются функциями от одной переменной. Обозначим через

$\overline{G}_j=\min_{x_j>0} g_{j} (x_j).$

Любая из оценок $\overline{G}_j\le \overline{G}_0$ , так как справедливо неравенство:

$\overline{G}_j\le g_{j} (1)=g(1,\ldots, 1)=\overline{G}_0.$

В качестве верхней оценки минимума позинома g(x) может быть использована следующая величина:

$\overline{G}=\min_{j=\overline{1,m}}\overline{G}_j .$

Приведем пример вычисления оценoк позинома.

Пример 25 Вычислим оценки позинома:

$g(x) = 2x_{1}x_{2}^{-2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{-1}.$

Вычислим сначала нижнюю оценку позинома. Для этого представим первый моном $2x_{1}x_{2}^{-2}$ как сумму двух равных мономов:

$g(x) = x_{1}x_{2}^{-2}+ x_{1}x_{2}^{-2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{-1}.$

Возьмем S=[2, 3, 4] . Позином

$g_s(x)= x_{1}x_{2}^{-2} + 3 x_{1}^{-1}x_{2} + x_{1}^{2}x_{2}^{-1}$

является регулярным, так как для него выполнены следующие равенства:

$\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 1} = 1-3+2=0,$

$\sum\limits_{i\in S}c_{i}a_{i 2} = -2+3-1=0.$

Следовательно, его минимум вычисляется по формуле:

$\underline{G}_s=\min_{x>0} g_s(x) = \sum\limits_{i\in S}c_{i}=1+3+1=5.$

Таким образом, получили нижнюю оценку для позинома $\underline{G}= \underline{G}_s= 5$ .

Вычислим теперь верхнюю оценку минимума позинома. Позином состоит из двух компонент:

$\begin{array}{rrl} g_{1}(x_1) &=& 2 x_{1}+3 x_{1}^{-1}+x_{1}^{2}, \\ g_{2}(x_2)&=&2 x_{2}^{-2}+3 x_{2}+x_{2}^{-1}. \end{array}$

Вычислим минимумы компонент позинома. Для каждой компоненты запишем производную:

$\begin{array}{rrl} g_{1}^{'}(x_1)& =&2-3 x_{1}^{-2}+2 x_{1}, \\ g_{2}^{'}(x_2)&=&-4 x_{2}^{-3}+3-x_{2}^{-2}. \end{array}$

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в геометрическое программирование

Регулярные позиномы

Оценки минимума позинома

Вопросы и ответы