Так это же динамическое программирование на основе математической индукции. |
Задача ГП без ограничений
Постановка задачи
Задача геометрического программирования без ограничений заключается в нахождении положительного вектора , при котором значение позинома будет наименьшим:
Введем специальные обозначения для индексных множеств задачи ГП:
Эти обозначения удобно использовать, когда не важен порядок перечисления индексов, поэтому в таких случаях записи и , а также будут эквивалентны.
Примеры задач оптимизации с позиномами
В этой лекции в качестве примеров мы приведем постановки задач оптимизации с позиномами без ограничений.
Пример 13 Требуется перевезти кубометров угля из шахты на завод. Для транспортировки угля необходимо изготовить открытый прямоугольный контейнер. Стоимость материала, идущего на изготовление боковых сторон и дна контейнера, составляет (руб. за квадратный метр), на фронтальные стороны - (руб. за квадратный метр). Стоимость доставки одного контейнера не зависит от его размера и составляет (руб.).
Затраты на доставку угля складываются из транспортных расходов и стоимости материала, идущего на изготовление контейнера, в котором он будет перевозиться. Требуется выбрать размеры контейнера, при которых эти затраты будут минимальны.
Обозначим через - длину, - ширину и - высоту контейнера. Тогда контейнер будет использоваться раз. Тогда транспортные расходы равны (руб.). Стоимость материала, потраченного на изготовление фронтальных сторон, составит (руб.), боковых сторон - (руб.), дна - (руб.).
Таким образом, задача свелась к минимизации позинома, выражающего суммарные затраты:
( 18) |
Пример 14 Корыто имеет форму полуцилиндра (рис. 2.2). При каких размерах его вес будет минимальным, если толщина стенок равна , емкость равна , а удельный вес материала равен - ?
Обозначим через - внутренний радиус корыта, - внутреннюю длину. Тогда вес торцовых стенок равен
вес остальной части корыта равен
Так как , то и
Следовательно, вес корыта равен
где , или
или
где .
Таким образом, задача свелась к минимизации позинома:
( 19) |
Пример 15 Работа, затрачиваемая на сжатие 1 кг воздуха в поршневом компрессоре от давления до давления ( отношение называется степенью сжатия), выражается формулой
( 20) |
где - так называемая газовая постоянная, - абсолютная температура воздуха до сжатия, - некоторая постоянная, учитывающая конструктивные особенности компрессора. Для получения высоких давлений делают многоступенчатые компрессорные установки, состоящие из нескольких последовательно соединенных компрессоров (ступеней) с холодильными устройствами между ступенями. Пусть проектируется -ступенчатая компрессорная установка и предполагается воздух, поступающий в любую из ступеней, охлаждать до температуры . Требуется при заданных определить такие промежуточные значения давлений , чтобы работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, была минимальна.
По формуле (20) работа, затрачиваемая на сжатие воздуха в -й ступени, равна
Следовательно, при выбранных работа, затрачиваемая на весь процесс сжатия, выразится формулой
Таким образом, задача свелась к нахождению наименьшего значения позинома:
( 21) |
Теперь можно сказать, что задачи из примеров 13, 14, 15 - это задачи ГП.
В некоторых случаях оптимальное решение задачи ГП можно получить при помощи теоремы 2 из лекции 1. Приведем примеры.
Пример 16 Решим задачу геометрического программирования
Предполагается, что . Обозначим через , . Тогда . Во введенных обозначениях задача с позиномом принимает вид:
при ограничении
Воспользуемся теоремой 2 при , , , , , :
причем минимум достигается в единственной точке
{Пример 15 (продолжение). Найдем теперь решение получившейся задачи ГП:
Обозначим через
Тогда сумма равна константе, так как выполнено следующее равенство:
Воспользуемся теоремой 2 при , , , :
и достигается он только при .
Система уравнений
имеет положительное решение
Таким образом, работа, затрачиваемая на -ступенчатый процесс сжатия газа, минимальна, когда на всех ступенях степени сжатия одинаковы и равны , то есть числа образуют геометрическую прогрессию со знаменателем .
В следующих лекциях мы вернемся к задачам из примеров 14, 15 и решим их.