Санкт-Петербургский государственный университет
Опубликован: 08.06.2009 | Доступ: свободный | Студентов: 641 / 120 | Оценка: 4.65 / 4.35 | Длительность: 07:44:00
Специальности: Программист
Лекция 1:

Неравенство Коши и его обобщения

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Аннотация: В лекции рассказано об истории возникновения геометрического программирования. Рассматриваются неравенство Коши и его обобщение. Приводятся примеры применения этих неравенств для решения прикладных задач. Вводятся понятия монома и позинома.

О термине "геометрическое программирование"

Геометрическое программирование (ГП) - раздел математического программирования, изучающий подход к решению нелинейных задач оптимизации специальной структуры. Термин геометрическое программирование впервые ввели в 1967 году Р. Даффин, Э. Питерсон и К. Зенер в монографии "Geometric Programming - Theory and Application". Русский перевод этой монографии появился в 1972 г. ([5]). Авторы объясняют появление этого названия тем, что одним из краеугольных камней излагаемой теории является неравенство между средним геометрическим и средним арифметическим и его обобщения. Добавим также, что первоначальной базой для ГП послужили некоторые геометрические задачи и методы их решения. Именно геометрия с древнейших времен занималась, в частности, решением задач на отыскание фигур, обладающих определенными экстремальными свойствами. Для решения таких задач часто использовалось геометрическое неравенство Коши и его обобщения. Одной из самых известных задач этого класса является, так называемая, задача Дидоны.

Задача Дидоны

Задача Дидоны, или классическая изопериметрическая задача, формулируется следующим образом: среди замкнутых плоских кривых, имеющих заданную длину, найти кривую, охватывающую максимальную площадь.

Эту задачу связывают с именем Дидоны - основательницы города Карфаген и его первой царицы. Согласно легенде, финикийская царевна Дидона (Элисса), спасаясь от преследований своего брата, царя Тира, отправилась на запад вдоль берегов Средиземного моря искать себе прибежище. Ей приглянулось место на побережье нынешнего Тунисского залива. Дидона вступила в переговоры с местным предводителем Ярбом о продаже земли. Запросила она совсем немного - столько, сколько можно окружить бычьей шкурой. Дидоне удалось уговорить Ярба. Сделка состоялась, и тогда хитроумная Дидона изрезала шкуру быка, которую ей предоставили местные жители, на узкие полоски, связала их и окружила территорию, на которой основала крепость, а вблизи от нее - город Карфаген.

Если учесть, что Дидона выбирала участок, примыкающий к берегу моря, то задачу, стоящую перед Дидоной, можно сформулировать так: какой формы должна быть кривая длины l, чтобы площадь фигуры, ограниченная этой кривой и заданной линией \Gamma, была наибольшей. В предположении, что \Gamma - прямая линия, решением задачи является полуокружность длины l.

Неравенство Коши

Решение частного случая задачи Дидоны, когда требуется определить, какой из прямоугольников заданного периметра имеет наибольшую площадь, было известно еще математикам Древней Греции. Более того, эта геометрическая задача считается самой древней задачей на экстремум. Решение этой задачи приведено в VI книге "Начал" Евклида, где доказывается, что если рассмотреть прямоугольник и квадрат одного и того же периметра, то площадь квадрата будет больше площади прямоугольника.

Решение задачи Дидоны для прямоугольников и некоторых других частных случаев этой задачи легко получить с помощью неравенства Коши, которое устанавливает, что среднее арифметическое n неотрицательных чисел не меньше их среднего геометрического:

\frac{x_1+x_2+\ldots +x_n}{n}\geq \sqrt[n]{x_1 x_2\ldots
   x_n},\quad x_{i}\geq 0,\quad i=\overline{1,n} .

Равенство достигается только при x_1 = x_2 =\ldots =x_n.

Доказательство неравенства Коши в общем виде занимает много места, поэтому здесь мы приведем доказательство этого неравенства только при n=2:

(x_1-x_2)^{2}\geq 0 \Rightarrow x_1^{2} + x_{2}^{2} \geq 2 x_{1}x_{2},
 \ x_1^2+x_2^2+2 x_1x_2 \geq 2 x_1x_2 +
2 x_1x_2\Rightarrow
\Rightarrow (x_1+x_2)^{2}\geq 4 x_1x_2 \Rightarrow
\frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} .

Покажем теперь на примерах, как неравенство Коши может быть использовано для решения оптимизационных геометрических задач.

Пример 1 (задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с периметром P, имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон прямоугольника через x_1 и x_2, а его площадь - через S. Тогда математическая модель задачи примет вид:

S=x_1 x_2\rightarrow \max

при ограничениях:

2 x_1 + 2 x_2=P,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.

Воспользуемся неравенством Коши при n=2:

\frac{x_1+x_2}{2}\geq\sqrt{x_1 x_2} . ( 1)

Поскольку x_1+x_2=P/2, то из (1) следует:

\frac{P^2}{16}\geq x_1 x_2=S. ( 2)

Неравенство (2) обращается в равенство при x_1 = x_2 = P/4. Таким образом, прямоугольником наибольшей площади, имеющим заданный периметр P, является квадрат, длина стороны которого равна P/4.

Пример 2 (обратная задача Дидоны для прямоугольников). Найдем длины сторон прямоугольника с площадью S, имеющего наименьший периметр.

Используем обозначения, введенные в примере 1. Тогда математическая модель задачи примет вид:

P=2 x_1+2 x_2\rightarrow \min

при ограничениях:

x_1 x_2=S,\ x_1\geq 0,\ x_2\geq 0.

Из неравенства (1) вытекает, что

\left(\frac{x_1+x_2}{2}\right)^2\geq x_1 x_2=S.

Следовательно, P=2 (x_1+x_2)\geq 4\sqrt{S}. Это неравенство обращается в равенство при {x_1} = {x_2} =\sqrt{S}. Таким образом, прямоугольником наименьшего периметра, имеющим заданную площадь S, является квадрат, длина стороны которого равна \sqrt{S}.

Пример 3 (задача Дидоны для параллелепипедов). Площадь поверхности параллелепипеда равна S. Определим, при каких длинах сторон его объем будет максимальным.

Обозначим длины сторон параллелепипеда через x_1, x_2 и x_3, а его объем - через V. Тогда математическая модель задачи примет вид:

V=x_1 x_2 x_3\rightarrow \max

при ограничениях:

2 x_1 x_2 + 2 x_1 x_3 + 2 x_2 x_3=S, ( 3)
x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ .

Воспользуемся неравенством Коши при n=3 для чисел x_1 x_2, x_1 x_3 и x_2 x_3:

\frac{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}{3}\geq \sqrt[3]{(x_1 x_2
      x_3)^2}\ . ( 4)

Неравенство (4) обращается в равенство при x_1 x_2=x_1 x_3=x_2 x_3, откуда следует: x_1=x_2=x_3. Из (3) имеем: {x_1
    }={x_2}={x_3}=\sqrt{S/6}. При этом максимальный объем

V=\sqrt{\left(\frac{S}{6}\right)^3}.

Таким образом, параллелепипед максимального объема с площадью поверхности S имеет форму куба со стороной \sqrt{S/6}. Аналогично можно показать, что параллелепипед объема V c минимальной площадью поверхности имеет форму куба.

Пример 4 (задача Дидоны для треугольников). Найдем длины сторон треугольника с периметром 2 p, имеющего наибольшую площадь.

Обозначим длины сторон треугольника через x_1, x_2 и x_3. Площадь треугольника S вычислим по формуле Герона. Математическая модель задачи примет вид

S=\sqrt{p (p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)}\rightarrow \max ( 5)

при ограничениях:

x_1 + x_2 + x_3 = 2 p,\ x_i\geq 0,\ i=\overline{1,3}\ . ( 6)

Воспользуемся неравенством Коши при n=3 для чисел p - x_1, p - x_2, p - x_3:

\sqrt[3]{(p - x_1)(p - x_2)(p - x_3)}\leq \frac{p}{3}\ .

Отсюда следует

(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)\leq \left(\frac{p}{3}\right )^3. ( 7)

Из (5) получим

S=\sqrt{p(p-x_1)(p-x_2)(p-x_3)}\leq \frac{p^2}{3\sqrt{3}} .

Неравенство (13) обращается в равенство при p-x_1 = p-x_2 = p-x_3, т. е. при условии x_1 = x_2 = x_3. Из (6) получим

{x_1}={x_2}={x_3}=\frac{2 p}{3},\quad \max
      S=\frac{p^2}{3\sqrt{3}}\ .

Таким образом, треугольником с периметром 2 p, имеющим наибольшую площадь, является равносторонний треугольник со стороной \frac{2 p}{3}.

При решении более сложных задач применяется также геометрическое неравенство или обобщенное неравенство Коши, которое непосредственно связано с двойственностью в ГП (см. лекцию 4):

\sum\limits_{j=1}^{n}{w}_{j}{x}_{j} \geq
        \prod \limits_{j=1}^{n}{x}_{j}^{{w}_{j}}, ( 8)

при

\sum\limits_{j=1}^{n}w_{j}=1 \mbox{\quad (условие нормальности),}
{w}_{j} > 0,\ \ j=\overline{1,n}\mbox{\quad (условие положительности),}
x_j\geq 0,\ j=\overline{1,n}.

Используя неравенство (8), можно доказать две теоремы, которые широко применяются для оценивания нелинейных функций.

Теорема 1 Решением экстремальной задачи

\prod\limits_{i =1}^{n}x_{i}^{\beta_{i}} \rightarrow \max

при ограничениях

\sum\limits_{i =1}^{n}\alpha_{i}x_{i} = S,
\ x_i> 0,\
   x_i\in\mathbb{R},

где

\beta_i>0,\ \alpha_i>0, \
   \ \beta_i\in\mathbb{R},\
   \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},

является вектор x^{*} с компонентами

x_{i}^{*} = \frac{\beta_i S}{\alpha_i\beta}\mbox{ , где }\ \beta =
  \sum\limits_{i=1}^{n}\beta_i. ( 9)

Максимальное значение целевой функции \mu вычисляется по формуле

\mu =
   \left(\frac{S}{\beta}\right)^{\beta}\prod\limits_{i=1}^n\left(\frac{\beta_i}{\alpha_i}\right)^{\beta_i}. ( 10)

Прежде, чем привести следующий пример, поясним постановку прикладной задачи, которая в нем рассматривается.

В экономике широко применяются функции, выражающие технологическую зависимость между результатами деятельности производственного объекта и затратами факторов производства. Такие функции называются производственными функциями. Во многих экономических моделях используется производственная функция Кобба-Дугласа, которая задается формулой:

y=a_0 L^{a_1} K^{a_2},

где y - объем выпускаемого продукта,

a_{0},\ a_{1},\ a_{2} - положительные константы,

L - затраты на труд,

K - затраты на капитальные ресурсы при производстве этого продукта.

Пример 5 Пусть зависимость выпуска продукта от ресурсов имеет вид производственной функции Кобба-Дугласа:

y=a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}.

Заданы цены ресурсов c_K и c_L и общий объем средств C на выпуск продукции. Определим объемы ресурсов K и L, при которых выпуск продукции максимален.

Математическая модель задачи может быть записана следующим образом:

y=a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2}\rightarrow \max

при ограничениях

{c_K} {K}+{c_L} {L}=C,\ K\geq 0,\ L\geq 0.

Для решения этой задачи применим теорему 1 при n = 2, S=C, x_1 = K, x_2 = L, \beta_1 = a_1, \beta_2 = a_2, \alpha_1 = c_K, \alpha_2 = c_L.

Оптимальные количества потребляемых ресурсов K^* и L^* вычисляются по формулам (9):

K^* =\frac{a_1}{a_1+a_2}\times\frac{C}{c_K};\
      L^* =\frac{a_2}{a_1+a_2}\times \frac{C}{c_L}\ .

Максимальный выпуск продукции y^* вычисляется по формуле (10):

y^*=a_0 
       \left(\frac{C}{a_1+a_2}\right)^{a_1+a_2}\left(\frac{a_1}{c_K}\right)^{a_1}\left(\frac{a_2}{c_L}\right)^{a_2}.

Приведем теперь теорему, в которой речь идет об обратной задаче (см. [1]).

Лекция 1: 12 || Лекция 2 >
Васильевич Иван
Васильевич Иван

Так это же динамическое программирование на основе математической индукции.
 

Олег Корсак
Олег Корсак
Латвия, Рига
Игорь Янковский
Игорь Янковский
Россия, Нальчик