Так это же динамическое программирование на основе математической индукции. |
Неравенство Коши и его обобщения
Теорема 2 Решением экстремальной задачи
![\sum\limits_{i = 1}^{n}\alpha_{i}x_{i}\rightarrow \min](/sites/default/files/tex_cache/60943217f43ea0f6f7b87a2980782458.png)
при ограничениях
![\prod\limits_{i=1}^{n}x_{i}^{\beta_i}= P,](/sites/default/files/tex_cache/0501ef961b9d38fc0090f528ccab4491.png)
![x_i> 0,\ x_i\in\mathbb{R},\ \ i = \overline{1,n},](/sites/default/files/tex_cache/260a64f8be98aa07251dcc128357bae6.png)
где
![\alpha_i > 0,\ \beta_i >0,\ \beta_i\in\mathbb{R},\ \alpha_i\in\mathbb{R},\ i = \overline{1,n},](/sites/default/files/tex_cache/6bfaa8cc08defd8abdc8d4ae7eabd98a.png)
является единственный вектор с компонентами
![]() |
( 11) |
Минимум целевой функции вычисляется по формуле:
![]() |
( 12) |
В следующем примере рассмотрена задача, обратная к задаче из примера 5. Для ее решения используется теорема 2.
Пример 6 Найдем, при каких наименьших затратах на ресурсы будет достигнут заданный объем выпуска продукции.
В обозначениях примера 5 математическая модель этой задачи примет вид:
![C={c_K} K +{c_L} L\rightarrow \min](/sites/default/files/tex_cache/8e45c8a42f408260761384740c0fc658.png)
при ограничениях
![]() |
( 13) |
Преобразуем ограничение (13):
![{K}^{a_1} {L}^{a_2}= \frac{y}{a_0}\ .](/sites/default/files/tex_cache/81ff4a8a5228d6076d99f4f8b0f1941e.png)
Для решения этой задачи воспользуемся теоремой
2 при ,
,
,
,
,
,
,
.
Подставляя в формулу (11) значения параметров, получим оптимальные количества ресурсов:
![K^* =\frac{a_1}{c_K}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1} %
\left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right]
}^{\frac{1}{a_1+a_2}}=
\left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}}%
c_L^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{a_2}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{-a_2}{a_1+a_2}}
=](/sites/default/files/tex_cache/262fedc379a423795c17c3f7aadf7c51.png)
![={\left( \frac{y}{a_0} \right) }^{\frac{1}{a_1+a_2}}
\left( \frac{c_L}{c_K}
\frac{a_1}{a_2}\right)^{\frac{a_2}{a_1+a_2}},](/sites/default/files/tex_cache/49adac28cd5cea9d1ab0b1356f480884.png)
![L^* =\frac{a_2}{c_L}{\left[ \frac{y}{a_0}\left(\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1}
\left(\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right]
}^{\frac{1}{a_1+a_2}}=\left(\frac{y}{a_0}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}c_K^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}c_L^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{1}^{\frac{-a_1}{a_1+a_2}}a_{2}^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}
=](/sites/default/files/tex_cache/f154450324ac60e2ad1627af6a450dc0.png)
![= {\left(\frac{y}{a_0}\right)}^{\frac{1}{a_1+a_2}}
\left(\frac{c_K}{c_L}
\frac{a_2}{a_1}\right)^{\frac{a_1}{a_1+a_2}}.](/sites/default/files/tex_cache/1b0a5f072fad9710a63849768a777793.png)
Наименьшие затраты на ресурсы вычисляются по формуле
(12):
![C^*=(a_1+a_2) \left(\frac{y}{a_0}\left(
\frac{c_K}{a_1}\right)^{a_1}\left(
\frac{c_L}{a_2}\right)^{a_2}\right)^{\frac{1}{a_1+a_2}}.](/sites/default/files/tex_cache/1c05a0cddcfe5727ef9d0c31ab48fd74.png)
В двух последних примерах использовалась функция Кобба-Дугласа
![y(K,L)= a_0 {K}^{a_1} {L}^{a_2},](/sites/default/files/tex_cache/1dc50e5378bcb07ff70ae1242830ef79.png)
принадлежащая классу функций, к описанию которого мы переходим.
Заметим, что в этой лекции мы пока не приводим формальную постановку задачи геометрического программирования, но все рассматриваемые в ней примеры являются таковыми задачами или сводятся к ней с помощью простых преобразований.
Мономы
Мономом называется функция , которая определяется следующей формулой:
![]() |
( 14) |
Таким образом, моном - это произведение положительного коэффициента и
переменных
в вещественных степенях
.
Эти степени образуют вектор экспонент монома, который мы будем
обозначать через
. Подчеркнем,
что поскольку
допускаются дробные и отрицательные показатели степеней, то
область определения монома ограничена строго
положительными вещественными числами.
Пример 7 Определим коэффициент и вектор экспонент следующего монома:
![u(x) = 5x_{1}^{2}x_{2}^{-3}.](/sites/default/files/tex_cache/3e04cf0b97cbf2804b319ff6ba09f21a.png)
В моном входят две переменные: и
.
Коэффициент монома: .
Перечислим основные свойства множества мономов:
- если
- моном,
- константа, то
- моном,
- если
- моном,
- моном, то
- моном,
- если
- моном,
- моном, то
- моном,
- если
- моном, то
- моном (
).
Теперь мы переходим к описанию базового понятия в ГП - позиномам.
Позиномы
Позином называется обобщенный полином вида:
![]() |
( 15) |
Позином можно рассматривать как сумму мономов .
Коэффициенты
называют вектором
коэффициентов позинома. Естественно, что область определения позинома (также
как у монома) ограничена строго
положительными вещественными числами.
Показатели степени принято записывать в виде матрицы
, которую называют матрицей экспонент. Количество
строк в матрице
равно числу мономов
, а количество столбцов -
числу переменных позинома
.
Значение элемента
равно степени (экспоненте) переменной
в мономе
1Обращаем внимание читателя на тот факт, что
в ряде источников матрицей экспонент называют транспонированную матрицу
.
С целью записи формулы (15) в компактном виде введем следующее обозначение:
![x^A=\left(\prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{1j}}, \prod\limits_{j=1}^{m}%
{x_{j}}^{a_{2j}}, \ldots, \prod\limits_{j=1}^{m}{x_{j}}^{a_{nj}}\right).](/sites/default/files/tex_cache/9feaadfdd4592b21da464f757502748c.png)
С учетом введенного обозначения формула (15) может быть переписана в следующем виде:
![]() |
( 16) |
Обозначим через - столбец с номером
матрицы
. Тогда формула
![]() |
( 17) |
определяет позиномы от одной переменной , которые называются компонентами позинома
.
Перечислим основные свойства множества позиномов:
- если
- позином,
- константа, то
- позином,
- если
- позином,
- позином, то
- позином,
- если
- позином,
- моном, то
- позином,
- если
- позином,
- моном, то
- позином,
- если
- позином, то
- позином.
Раcсмотрим примеры позиномов.
Пример 8 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
![g(x) = 0.5x^{2} + x^{-3} + 6x^{4}.](/sites/default/files/tex_cache/b206069530e26530ef5f0cbfe7ff062f.png)
В позином входит одна переменная . Позином состоит из трех
мономов:
,
,
. Вектор коэффициентов:
. Матрицей
экспонент позинома является (
)-матрица
![A=\left\|
\begin{array}{r}
2 \\
-3 \\
4\\
\end{array}
\right\|.](/sites/default/files/tex_cache/895c4afa3e01081882421e466dd58306.png)
Пример 9 Определим вектор коэффициентов и матрицу экспонент позинома
![g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} +
3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.](/sites/default/files/tex_cache/d634d65a35cfd068ac115e8088aca6b5.png)
В позином входят три переменные . Позином
состоит из четырех мономов:
![u_1(x) & = & 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2}, \\
u_2(x) & = & 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2},\\
u_3(x) & = & 3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1}, \\
u_4(x) & = & x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.](/sites/default/files/tex_cache/0ffc824dac8d652c90713db76f8905b5.png)
Вектор коэффициентов образован коэффициентами мономов: . Матрицей экспонент позинома является (
)- матрица
![A=\left\|
\begin{array}{rrr}
1 & 3 & -2\\
-2 & -1 & 2 \\
1 & -2 & -1 \\
3 & 1 & 1
\end{array}
\right\|.](/sites/default/files/tex_cache/aee126b732bf350db1c5835a07cad6b6.png)
Вектор коэффициентов позинома и матрица
экспонент
однозначно определяют позином по формуле (15).
Рассмотрим примеры.
Пример 10 По вектору коэффициентов и матрице экспонент
![A=\left\|
\begin{array}{r}
1 \\
2 \\
-3
\end{array}
\right\|](/sites/default/files/tex_cache/4ea65a7fd2158d4f42c901fceb88ddd2.png)
запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
![g(x) = cx^A=(7, 0.5, 1) (x^{1}, x^{2}, x^{-3})=7 x +
0. 5 x^{2} + x^{-3}.](/sites/default/files/tex_cache/dda05c210d606ace9626c4e7b1d08734.png)
Пример 11 По вектору коэффициентов и матрице экспонент
![A=\left\|
\begin{array}{rrrr}
-2 & 0 & 1 & 1 \\
1 & -2 & 0 & 1 \\
0 & 1 & 0 & -1 \\
1 & 1 & -1 & -1
\end{array}
\right\|.](/sites/default/files/tex_cache/328f6d0514659fceed44e4a0e94ab530.png)
запишем позином в форме (15).
Применяем формулу (16):
![g(x) = cx^A=(0.3, 0.2, 0.1, 1) (x_{1}^{-2}x_{2}^0x_{3}^1x_{4}^1, %
x_{1}^1x_{2}^{-2}x_{3}^0x_{4}^1, x_{1}^0x_{2}^1x_{3}^0x_{4}^{-1}, x_{1}^1x_{2}^1x_{3}^{-1}x_{4}^{-1})=](/sites/default/files/tex_cache/083c6676c89710a06066ab5cc4375a52.png)
![=0.3 x_{1}^{-2}x_{3}x_{4} + 0.2 x_{1}x_{2}^{-2}x_{4} +
0.1 x_{2}x_{4}^{-1} + x_{1}x_{2}x_{3}^{-1}x_{4}^{-1}.\hphantom{g(x}](/sites/default/files/tex_cache/e5d9c48cbfb5d7996a4e65990fa426cd.png)
Пример 12 Запишем компоненты позинома из примера 9:
![g(x) = 4 x_{1}x_{2}^{3}x_{3}^{-2} + 6 x_{1}^{-2}x_{2}^{-1}x_{3}^{2} +
3.8 x_{1}x_{2}^{-2}x_{3}^{-1} + x_{1}^{3}x_{2}x_{3}.](/sites/default/files/tex_cache/d634d65a35cfd068ac115e8088aca6b5.png)
В позином входят три переменные , следовательно,
позином состоит из трех компонент. Вектор коэффициентов
. По формуле (17)
определяем:
![g_{1}(x_1) = c x_{1}^{A_1} = %
(4, 6, 3.8, 1) (x_{1}^{1}, x_{1}^{-2}, x_{1}^{1}, x_{1}^{3}) = 4 x_{1}+6 x_{1}^{-2} +
3.8 x_{1}+x_{1}^{3},](/sites/default/files/tex_cache/363e7118d5edf69dc14bbf819348b54b.png)
![g_{2}(x_2) = c x_{2}^{A_2} = %
(4, 6, 3.8, 1) (x_2^{3}, x_{2}^{-1}, x_{2}^{-2}, x_{2}^{1}) = 4 x_{2}^{3}+6 x_{2}^{-1} +
3.8 x_{2}^{-2} + x_{2},](/sites/default/files/tex_cache/2e81026175f7cdccfe46fdc74cf61c37.png)
![g_{3}(x_3) = c x_{3}^{A_3} = %
(4, 6, 3.8, 1) (x_3^{-2}, x_{3}^{2}, x_{3}^{-1}, x_{3}^{1}) = 4 x_{3}^{-2}+6 x_{3}^{2} +
3.8 x_{3}^{-1}+ x_{3}.](/sites/default/files/tex_cache/8e63d75027311dc2a552b772311eaa7c.png)
Следует заметить, что при помощи позиномов описывается большое число закономерностей и отношений, возникающих в различных областях, среди которых: оптимальное планирование, техническое проектирование, исследование химического равновесия, потоки в сетях, оптимальное управление, теория кодирования, управление запасами, системы связи, региональная экономика, автоматизированное проектирование, расчет рисков.
Все задачи оптимизации с позиномами можно разделить на два основных вида: задачи без ограничений, когда минимизируется один позином, и задачи с ограничениями, когда минимизируется некоторый позином, а значения других позиномов не должны превышать единицы. Однако существуют и другие виды задач оптимизации с позиномами. Некоторые из них мы рассмотрим в последующих лекциях.
Краткие итоги
Описаны истоки геометрического программирования, обозначены основные сферы применения. Показана роль неравенства Коши и его обобщения в построении начальной теории. Введены понятия монома и позинома. Перечислены основные свойства множества мономов и множества позиномов. Все определения объяснены на примерах.