Приложение 2: Основные положения теории вероятностей

Интервальные оценки и проверка статистических гипотез

Интервальной оценкой параметра называется интервал  который с заданной вероятностью накрывает неизвестное значение . При этом сам интервал  называется доверительным, а вероятность  — доверительной,или уровнем надежности. Величина представляет собой уровень значимости.

Для построения интервальной оценки параметра необходимо знать закон распределения статистики и задать уровень надежности . Границы доверительного интервала определяются условием

Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины , построенный по выборке на уровне надежности , имеет вид

где  — двусторонняя -квантиль распределения Стьюдента с -й степенью свободы;

 — среднеквадратичное отклонение выборочной средней.

Доверительный интервал для дисперсии нормально распределенной случайной величины с заданным уровнем надежности определяется следующим образом:

где  — квантили уровней  распределения , т.е. величины, удовлетворяющие соотношениям

Статистической гипотезой принято считать любое предположение о законе распределения случайной величины генеральной совокупности или о значениях параметров закона распределения. Высказанное предположение, которое подлежит проверке, обозначается и называется основной, или нулевой, гипотезой. Наряду с основной гипотезой в рассмотрение вводится и противоречащая ей гипотеза , которая называется конкурирующей, или альтернативной. Цель проверки статистической гипотезы заключается в том, чтобы установить, не противоречит ли высказанная гипотеза имеющимся выборочным данным .

Для проверки нулевой гипотезы формируется статистический критерий - специальная статистика K = K(X_{1}, X_{2}, \dots , X_{n}), распределение которой в условиях известно. По известному распределению статистического критерия определяется множество значений, которые величина принимает с вероятностью , близкой к единице, т.е. практически достоверно. Это множество называется областью принятия нулевой гипотезы. Дополнение этого множества образует критическую область, или область отвержения .

Проверка нулевой гипотезы осуществляется следующим образом. По выборочным данным вычисляется значение критерия . Если значение Kрасч принадлежит критической области, то проверяемая гипотеза отвергается как противоречащая выборочным данным и принимается альтернативная гипотеза . Если же принадлежит области принятия нулевой гипотезы, то принимается гипотеза как не противоречащая имеющимся данным. В этом случае говорят, что нулевая гипотеза принимается на уровне значимости .

Уровень значимости характеризует вероятность совершить ошибку первого рода, заключающуюся в напрасном отвержении имеющей место нулевой гипотезы - . Ошибкой второго роданазывается ошибка принятия ложной гипотезы .

В компьютерных системах, в частности в STATISTICA, для выборочного значения критерия определяется уровень значимости нулевой гипотезы (или - -значение), величина которого определяется условием . Это значение характеризует вероятность ошибки, связанной с распространением утверждения нулевой гипотезы на всю генеральную совокупность. Чем меньше -значение, тем увереннее происходит отвержение основной гипотезы. В практических задачах в качестве стандартного уровня принят 5%-ный уровень значимости.

В заключение укажем на принцип двойственности теории построения доверительных интервалов и проверки гипотез о значениях параметров распределения. Нетрудно убедиться в том, что при выбранном уровне надежности g доверительный интервал для некоторого параметра \theta составляют те значения параметра, которые совместимы с гипотезой при уровне значимости .

Элементы теории вероятностей и математической статистики: основные понятия и факты

Изучение систематических курсов теории вероятностей и математической статистики является обязательным условием успешного освоения эконометрики. Справочный материал этого Приложения призван напомнить читателю основные понятия и терминологию этих предметов. Материал не претендует на полноту и математическую строгость изложения и никоим образом не подменяет основных учебников в этой области.