В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Приложение 1: Векторное пространство
Скалярное произведение векторов
Скалярным произведением векторов и
называется число (скаляр), обозначаемое как (
) (или просто
) и определяемое соотношением
Основными свойствами этой операции являются:
- симметрия
;
- дистрибутивность
;
-
для любого вещественного
;
-
, причем
тогда и только тогда, когда
.
Величина называется модулем(длиной)вектора x.
Для любых двух векторов и
справедливо неравенство Коши-Буняковского
.
Векторы и
называются коллинеарными, если
. Практически это означает, что координаты этих векторов пропорциональны.
Векторы и
называются ортогональными, если их скалярное произведение равно нулю:
.
Вещественное линейное пространство называется евклидовым пространством, если в нем определено скалярное произведение элементов. В евклидовом пространстве удобно использовать базис , все элементы которого взаимно ортогональны и имеют единичную длину, т.е.
![(e_{i}, e_{j}) = d_{ij},](/sites/default/files/tex_cache/9394e3072a9d02ad53c1ece7f47e8f3f.png)
где - символ Кронекера.
Такие базисы называются ортонормированными и существуют в любом евклидовом пространстве. В ортонормированном базисе координаты вектора можно представить в виде
, а разложение вектора по базису как
Введение в рассмотрение скалярного произведения позволяет в дальнейшем использовать такие геометрически содержательные понятия, как ортогональность, угол и длина. Эти свойства широко используются при объяснении (обосновании и изложении) метода наименьших квадратов (МНК), в частности, при получении системы нормальных уравнений, а также для объяснения свойств МНК-оценок.