В дисциплине "Основы эконометрики" тест 6 дается по теме 7. |
Временные ряды с высокой изменчивостью
11.4. ММП-оценка моделей ОАРУГ и АРУГ-М
Рассмотрим метод максимума правдоподобия, необходимый для понимания и написания программ для АРУГ-моделей.
Предположим, что значения -последовательности нормально распределены со средним
и постоянной дисперсией
. Из теории вероятностей следует, что логарифм функции правдоподобия, использующей
независимых наблюдений, распределенных по нормальному закону, имеет вид
Задача состоит в максимизации функции правдоподобия по неизвестным параметрам и
по известным выборочным данным
. Приравняв к нулю частные производные первого порядка, имеем:
Решая систему уравнений относительно и
, получаем:

Те же принципы применяются и в регрессионном анализе.
Предположим, что последовательность получена из модели

В классической регрессионной модели предполагается, что среднее равно нулю, дисперсия равна
и различные реализации
независимы и подчинены нормальному распределению вероятностей. Тогда функция правдоподобия принимает вид
Максимизируя по и
, получаем стандартные формулы МНК для коэффициентов регрессии

До сих пор мы получали линейные относительно неизвестных условия первого порядка. К сожалению, для АРУГ-моделей условия первого порядка оказываются нелинейными, и их решение требует более сложных алгоритмов.
Рассмотрим, к примеру, АРУГ(1)-процесс для ошибок регрессионной модели. Снова будем исходить из того, что , но условная дисперсия
представима в виде
и потому равна

Хотя условная дисперсия не постоянна, легко ввести необходимые поправки в функцию правдоподобия
где
Следует максимизировать функцию относительно и
. Многие компьютерные программы позволяют провести такую максимизацию итерационными методами.
Контрольные вопросы
- Чем была вызвана необходимость исследования моделей с условной гетероскедастичностью?
- Что собой представляют АРУГ-модели, какому процессу подчиняется в этих моделях условная дисперсия ошибки исходного временного ряда?
- Покажите, что прогнозы для
-модели (11.16) имеют вид авторегрессии порядка
, т.е. являются процессами вида
- Дайте определение ОАРУГ-модели. Каковы отличия в поведении условной дисперсии остатков АРУГ- и ОАРУГ-моделей?
- Какова область применения моделей АРУГ-М, чем они отличаются от АРУГ-моделей?
- Опишите метод максимального правдоподобия для оценок коэффициентов АРУГ-модели Энгла (11.4, 11.11).