Одновременные уравнения. Методы идентификации

7.3. Структурная и приведенная формы системы одновременных уравнений

В кейнсианской модели (7.1) переменная и переменные и существенно различаются. Первая переменная формируется под воздействием внешних факторов, большинство из которых относится к политической надстройке, создающей условия для роста инвестиций, и называется экзогенной переменной. Остальные переменные модели определяются из уравнений (7.1), т.е. внутри модели, и называются эндогенными переменными.

Набор экзогенных переменных может быть различным, например, процентная ставка, денежная масса, временной тренд (переменная времени ) и др. Дело в том, что экзогенные переменные никогда не коррелируют с ошибками модели, тогда как эндогенные переменные, как правило, коррелируют.

Различают структурную и приведенную формы систем уравнений. Структурная представляет собой исходную форму записи системы уравнений, в правых частях которой присутствуют как экзогенные, так и эндогенные переменные. Чтобы получить приведенную форму системы уравнений, следует выразить каждую эндогенную переменную через экзогенные переменные и случайные ошибки. Следовательно, число уравнений приведенной системы совпадает с числом эндогенных переменных модели. Такую процедуру мы проделали для переменной в уравнении (7.3). Аналогичную процедуру проведем для второй эндогенной переменной и получим приведенную форму кейнсианской модели (7.1)

(7.4)

Если система уравнений помимо экзогенных и эндогенных переменных содержит еще и значения эндогенных переменных, полученные в предыдущие периоды времени, то такие значения называют лаговыми переменными, или предопределенными переменными. Тогда в приведенной форме системы следует выражать эндогенные переменные через экзогенные и лаговые переменные.

Модернизируем кейнсианскую модель, предполагая, что даже при сильных изменениях совокупного продукта обществу будет трудно сразу приспособиться к новому уровню потребления и большую роль при этом будет играть сложившийся в прошлые периоды стереотип потребления. То есть предположим, что функция потребления имеет вид

(7.5)

В рассматриваемый период времени уровень потребления в прошлый период времени считается известным, поэтому переменная является предопределенной. Приведенная форма модернизированной кейнсианской модели будет содержать в правой части переменные и .

7.4. Косвенный и двухшаговый методы наименьших квадратов и проблема идентифицируемости

Коэффициенты уравнений, входящие в структурную систему уравнений, можно разделить на две группы: подлежащие определению и заранее известные из исходных теоретических предположений о модели. В системе (7.1) первое уравнение системы содержит подлежащие определению структурные коэффициенты и , а второе - представляет тождество с заранее известными двумя коэффициентами, равными единице.

Метод, с помощью которого мы выше определили неизвестные структурные коэффициенты модели, называется косвенным методом наименьших квадратов. Суть его состоит в том, что сначала систему структурных уравнений преобразуют к приведенной форме. Затем коэффициенты приведенной формы рассчитывают по методу наименьших квадратов, и наконец, находят структурные коэффициенты из соотношений, связывающих приведенные и структурные коэффициенты уравнений.

Запишем приведенную систему уравнений (7.3) в несколько ином виде

(7.6)

где

Итак, существует по крайней мере два способа расчета коэффициентов и . Первый способ состоит в использовании для расчета коэффициентов и :

(7.7)

Второй способ позволяет получить несколько иные коэффициенты. При этом для расчетов используют следующие формулы:

(7.8)

Расчеты по формулам (7.7) и (7.8) могут случайно дать одинаковый результат. Но косвенный метод наименьших квадратов дает для простейшей кейнсианской модели (7.1) несколько вариантов расчета структурных коэффициентов модели. Такая ситуация называется сверхидентифицируемостью. Приведем соответствующие определения.

Структурный параметр (коэффициент структурного уравнения системы) называется идентифицируемым, если он однозначно определяется с помощью косвенного метода наименьших квадратов, т.е. существует единственная формула, связывающая этот коэффициент с коэффициентами приведенной формы. Уравнение структурной системы называется идентифицируемым, если все входящие в него структурные коэффициенты идентифицируемы.

Структурный параметр называется неидентифицируемым, если не существует формула расчета этого коэффициента через коэффициенты приведенной формы модели.

Структурный параметр называется сверхидентифицируемым, если существует несколько формул расчета этого коэффициента через коэффициенты приведенной формы модели.

Необходимое условие идентификации формулируется следующим образом.

Пусть - число предопределенных переменных отсутствующих в данном уравнении, но присутствующих в системе уравнений; - число эндогенных переменных в рассматриваемом уравнении. Тогда:

при - коэффициенты уравнения идентифицируемы;

при - коэффициенты уравнения неидентифицируемы;

при - коэффициенты уравнения сверхидентифицируемы.

Однозначный метод определения коэффициентов структурной модели в случае сверхидентифицируемости дает двухшаговый метод наименьших квадратов. Он состоит из следующих этапов:

1. нахождение МНК-оценок коэффициентов приведенной формы;
2. получение из уравнений приведенной формы расчетных значений эндогенных переменных;
3. использование расчетных значений эндогенных переменных, полученных на втором этапе, в качестве инструментальных переменных, т.е. подставление расчетных значений эндогенных переменных вместо их истинных значений в правые части структурных уравнений модели;
4. использование МНК для расчета теперь уже структурных коэффициентов модели.

Для простейшей кейнсианской модели (7.1) двухшаговый МНК означает:

1. расчет по методу наименьших квадратов коэффициентов системы (7.6);
2. определение расчетных значений и для каждого наблюдения из уравнений системы (7.6);
3. расчет оценок структурных коэффициентов и по методу наименьших квадратов из системы уравнений

Контрольные вопросы

1. Какие трудности возникают при применении МНК, если уравнение содержит случайные объясняющие переменные?
2. Какие переменные называются инструментальными и какова их роль в преодолении трудностей применения обычного МНК для построения регрессии?
3. Какие переменные системы уравнений называются экзогенными, эндогенными и предопределенными?
4. Какую форму системы уравнений называют структурной формой, а какую приведенной формой системы?
5. Получите в явном виде приведенную форму кейнсианской модели с модернизированным процессом формирования потребления в экономической системе (см. формулу (7.5)).
6. Какие структурные коэффициенты модели называются идентифицированными, неидентифицируемыми, сверхидентифицируемыми?
7. Когда для получения оценок структурной модели можно использовать косвенный метод наименьших квадратов, а когда - двухшаговый метод наименьших квадратов?