НОУ ИНТУИТ | Основы теории вероятностей. Лекция 5: Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3119 / 894 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00

Тема: Математика

Теги: beta, анализ, биноминальное распределение, бифуркация, вычисления, графика, дискретная случайная величина, законы, несовместное событие, нормальная функция, ось ординат, полная группа, распределение пуассона, формула полной вероятности, цвета, элементарное события

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Сравнение экспериментальных распределений с нормальным законом

Для того чтобы сравнивать любое экспериментальное распределение с нормальным, выполняют стандартизацию распределения по следующему несложному алгоритму.

1. Строят графики функций распределения экспериментального и нормального рядов в едином масштабе, после чего совмещают эти графики наложением друг на друга, начиная с нулевой точки

Рис. 9.15. Графическая интерпретация алгоритма стандартизации функции распределения

2. Может случиться так, что линии $x=a$ для нормального ряда и $x=\overline x$ для экспериментаьлного совпадут, как на рис.9.15б . Тогда данный пункт алгоритма следует опустить и сразу перейти к следующему. Но если эти линии не совпадают (рис.9.15а ), то тогда от каждого элемента экспериментального ряда отнимают, если $\overline x >a$ (прибавляют, если $\overline x<a$ ) величину, равную $$|\overline x -a |$.$ Эта операция называется центрированием. Она позволяет совместить на одной прямой максимумы построенных функций (рис.9.15 б). Таким образом в результате данного шага от исходного экспериментального ряда переходят к

$x_{i}^*= x_{i}-|\overline x-a| \ или \ x_{i}^*=x_{i}+|\overline x-a|.$

( 26)

3. Завершают процедуру стандартизации ряда операцией нормировки на рассеяние (рис.9.15в ) по формуле

$z_{i}=\frac {x_{i}^*} {\sigma}=\frac {x_{i}-|\overline x-a|} {\sigma } \ или \ z_{i}=\frac {x_{i}^*} {\sigma}=\frac {x_{i}+|\overline x-a|} {\sigma }.$

( 27)

Полученное распределение можно сравнивать с нормальным (эталонным). А функция распределения нового (преобразованного) ряда $f(z)$

в силу своих особенностей, которые здесь не обсуждаются, получила название кумулятивной функции распределения.

Если построенное нормальное распределение $f(x)$ имеет $a=0$ и $\sigma=1$ , то график называют нормированным, а функция $f(x)$ обладает всеми свойствами нормированной кривой. Такие функции широко используются для расчетов теоретических кривых распределений. А сама $f(x)$ выглядит следующим образом

$f(x)= -\frac 1 {\sqrt{2\pi}} e^{-\frac {x^2} 2}$

( 28)

Очевидно, что функция (28) является четной, т.е. $f(-x)=f(x)$

.

Для того чтобы определить, находится ли экспериментальная величина в границах таких, как если бы она была бы нормально распределена, исследуют кумулятивную функцию распределения, больше известную как функцию Лапласа

$\Phi(z)=\frac 2 {\sqrt{2\pi}}\int\limits_{-\infty}^{z}e^{-\frac {z^2} 2}dz$

( 29)

где $z=\frac {x-M_{X}} {\sigma}$ . Тогда на основании свойства 2 интегральной функции распределения, вероятность того, что случайная величина попадет в интервал $[x_{1};x_{2}]$ определиться из

$P(x_{1} \leqslant x \leqslant x_{2})=\frac 1 2 \left (\Phi(x_{2})-\Phi(x_{1}) \right ),$

( 30)

где $x_{1}=\frac {x_{1}-M_{X}} {\sigma}; \ x_{2}=\frac {x_{2}-M_{X}} {\sigma}$ .

Из равенства (30) и свойства $\sigma$ можно сформулировать правило 3-х сигм, известное как критерий Чебышева.

Правило 3-х сигм (критерий Чебышева). Если случайная величина распределена по нормальному закону, то отклонение этой величины от математического ожидания ряда не превосходит $3\sigma$ влево и вправо от $M_{X}$ .

Это правило на практике используется как необходимое условие для того, чтобы данный экспериментальный ряд был распределен по нормальному закону. Это значит что, если правило $3\sigma$ не выполняется, то ряд экспериментальных данных не подчиняется нормальному закону распределения. Но это утверждение не всегда верно в "обратную сторону", т.е. если правило $3\sigma$ выполняется, то ряд экспериментальных данных подчиняется нормальному закону распределения. Иными словами, выполнение этого правила не гарантирует, что исследуемый ряд распределен нор-мально. Необходимы дополнительные исследования ряда.

Пример 3. Установлено, что при измерении диаметра валика микрометром случайная погрешность измерений подчиняется нормальному закону распределения со средним квадратическим отклонением $\sigma=0,12$ мм. Систематической погрешностью пренебрегаем. Найти вероятность того, что измерения проводились с ошибкой не более, чем $\pm 0,2$ мм.

Решение. Определим $x_{1}$ для формулы (30). Данное значение 0,2 – это среднее отклонение $x_{i}$ конкретного измерения от математического ожидания, следовательно, $x_{1\frax {0,2} {0,12} \approx 1,67$ . О наименьшем значении $x_{2}$ ничего в задаче не сказано, поэтому примем его равным нулю, т.е. измерения выполнялись вообще без погрешностей. Тогда с учетом сказанного, получаем

$P \left ( |x| < 0,2 \right )=\Phi \left ( \frac {0,2} {0,12}\right ) =\Phi \left (1,67 \right ) = 0,9051$

( 31)

Значение функции $\Phi(x)$ для конкретного $x$ берется из специальных таблиц.

Биноминальное распределение

Биноминальным распределением называется функция распределения вероятностей появления $m$ событий в $n$ независимых испытаниях, в каждом из которых вероятность появления события постоянна и равна $p$ :

$p(x=m)=C_{n}^m p^m q^{n-m}$

( 32)

где $q=1-p; \ m=0,1,2, \cdot , n$ . Очевидно, что

$F(x)=\left\{\begin{array}{ccc}{0, \ \ \ \ \ \ n \leqslant 0}\\{\sum\limits_{m=0}^n p_{m,n}, 0 <m \leqslant n}\\{1, m>n}, \\ \end{array}\right}$

( 33)

Из равенства (32) следует

$M_{X}=np,$

т.е. математическое ожидание равно вероятности, что в $n$

событиях искомое событие состоится хотя бы один раз.

Теорема Муавра-Лапласа

Эту теорему используют для вычисления $p_{m,n}$ вместо формулы (31), если достаточно большое число. Эта теорема относится к предельным теоремам, которые используются вместо основных, если речь идет о большом количестве испытаний. В Математической статистике подобных теорем достаточно много.

Теорема. Если вероятность наступления события $A$ в $n$ независимых испытаниях есть величина постоянная и отличная от нуля, то вероятность того, что в $n$ испытаниях событие $A$ насупит $m$ раз равна

$p_{m,n}=\frac 1 {\sqrt {mpq}} \cdot f(t),$

( 34)

где

$f(t)=\frac 1 {\sqrt {2\pi}} e^{- \frac {t^2} 2}, \ t=\frac {m-np} {\sqrt {npq}}$

( 35)

Пример 4. Вероятность того, что на морском берегу среди камней найдется гладкий (обкатанный) равна $\frac 8 9$ . За 3 часа прогулки по берегу Некто собрал 280 разных по форме камушков. Найти вероятность того, что 20 камней из собранных будут не гладкими (не обкатанными прибоем).

Решение. Так как в задаче речь идет о большом количестве образцов ( ), то здесь следует воспользоваться теоремой Маувра-Лапласа (34) – (35). Для этого выполним некоторые предварительные расчеты по формулам (35).

$t=\frac {m-np} {\sqrt {npq}}=\frac {20-280 \cdot \frac 19} {\sqrt {280 \cdot \frac 1 9 \cdot \frac 8 9}} = -2,11$