Случайные величины. Законы распределения. Числовые характеристики случайных величин
Основные расчетные формулы
Частость:
( 1) |
Шаг разбиения интервала при :
( 2) |
Математическое ожидание:
( 3) |
( 4) |
Статистический начальный момент:
( 5) |
Статистический центральный момент:
( 6) |
Несмещенная оценка дисперсии:
( 7) |
Статистический начальный момент для интервального статистического ряда:
( 8) |
Статистический центральный момент для интервального статистического ряда:
( 9) |
Практические примеры решения задач
Пример 1. Наблюдения показали, что каждый из 10 рабочих затрачивает на изготовление детали 0,11 час. Индивидуальные затраты времени у 15 рабочих другой смены составили 0,1 час. Определить среднее время, необходимое для изготовления одной детали, при котором за 1 час работы всеми рабочими изготовилось бы такое же количество деталей.
Решение. В приведенном примере "время на изготовление одной детали" примем за наблюдаемый признак, по которому проводилось усреднение по группам. Тогда для рабочих среднее по группе будет равно час; а для рабочих среднее по группе составит час. Обозначим - среднее время, необходимое для изготовления одной детали, если будут работать рабочих. Тогда количество деталей, которое изготовит первая группа рабочих за 1 час будет , а вторая группа . Очевидно, что по условию задачи должно выполнятся равенство:
откуда находим неизвестное :Пример 2. Автомобиль 6 час двигался со скоростью , а затем 1 час - . При этом горючего было израсходовано пропорционально квадрату скорости. Найти среднюю рекомендованную скорость движения , двигаясь с которой автомобиль затратит за свою поездку такое же количества горючего.
Решение. Если количество горючего пропорционально квадрату скорости, то на первом участке, который автомобиль проехал со скоростью было израсходовано (л) горючего. Тогда на втором участке израсходовано (л) горючего. Рассуждая аналогично, обозначив - искомую среднюю скорость, получим уравнение:
откуда, выполнив элементарные преобразования, получим:Пример 3. Надувные лодки, выпускаемые двумя заводами, имеют следующий срок службы (до первого ремонта) в часах:
Время/лодки | до 600 | 600-1200 | 1200-1800 | 1800-2400 | 2400-3000 |
---|---|---|---|---|---|
Лодки первого завода | 12 | 23 | 28 | 27 | 10 |
Лодки второго завода | 8 | 26 | 28 | 24 | 14 |
Определить: чья продукция лучше?
Решение. В этой задаче необходимо сравнить среднее по группам. Для первой группы:
где берется для одного из концов интервала, например, правого. Тогда: Для второй группы, рассуждая аналогично, получим: Сравнивая и делаем вывод, что продукция второго завода лучше.Пример 4. На участке дороги есть 4 населенных пункта , в которых проживает 50, 30, 40 и 10 жителей, соответственно. Расстояние от города до указанных населенных пунктов составляет 2, 3, 5 и 8 км. Для удобства жителей организуют автобусный маршрут до города. Определить, в каком из населенных пунктов следует сделать автобусную остановку, чтобы общий путь пассажиров до автобусной остановки был бы наименьшим ?
Решение. 1-й способ. Автобусную остановку следует располагать в том пункте, до которого среднее расстояние было бы наименьшим. Такое расстояние обязательно должно обладать следующим свойством:
следовательно, откуда получим Следовательно конечную остановку следует делать в пункте2-й способ. Относительно остановки оба потока пассажиров (слева и справа) должны быть одинаковыми, т.е. необходимо определить ряда. Очевидно, что
т.е. с каждой стороны к остановке от и от должны переместиться 65 пассажиров. Этим свойством обладает поселок , т.е. там и следует делать остановку. Заметим, что решение обоими способами дает одинаковый результат.