НОУ ИНТУИТ | Основы теории вероятностей. Лекция 5: Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 28.04.2012 | Доступ: свободный | Студентов: 3108 / 892 | Оценка: 3.86 / 2.57 | Длительность: 07:45:00

Тема: Математика

Теги: beta, анализ, биноминальное распределение, бифуркация, вычисления, графика, дискретная случайная величина, законы, несовместное событие, нормальная функция, ось ординат, полная группа, распределение пуассона, формула полной вероятности, цвета, элементарное события

|

Вам нравится? Нравится 32 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Аннотация: Подробно рассматриваются основные характеристики случайной величины и виды распределения.

Ключевые слова: дискретная случайная величина, функция, выражение, случайная величина, значение, вероятность, полная группа, ПО, интервал, определение, площадь, дисперсия, график, ось абсцисс, ось ординат, максимум, параметр, прямой, вывод, ветвь, графика, точность, математика, метода наименьших квадратов, бифуркация, нормальная функция, пункт, нормальное распределение, погрешность, Биноминальное распределение, операции, связь, Распределение Пуассона, равенство

Функция распределения

Известно, что если события составляют полную совокупность, то $\sum\limits_{i=1}^N P_{i}=1$ . Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.

Определение. Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.

Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.

В противном случае величины будут зависимыми.

Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения $x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}$ _ функция распределения имеет вид:

$\[F \left ( X \right )=\sum\limits_{x_{i}<x} \left ( X < x_{i}\right )]$

( 1)

Выражение (1) читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина $X$ примет значение не больше, чем $x_{i}$ ".

Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда $x_{1},x_{2}, x_{3},x_{4}, x_{5}$ с вероятностями $P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}, P_{5}$ , соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины $X$ будет меньше $x_{1}$ равно 0: $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{1} \right )=0$ , а вероятность того, что $X$ будет меньше $x_{2}$ , равна $P_{1}$ : $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{2} \right )=P_{1}$ . Вероятность, что случайная величина $X$ будет меньше $x_{3}$ будет равна $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$ , так как $P_{1}$ - это вероятность варианты $x_{1}$ , а $P_{2}$ - вероятность варианты $x_{2}$ . Случайная величина принимает одно значение из двух $x_{1}$ либо $P_{2}$ , потому $F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{3} \right )=P_{1}+P_{2}$ . Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:

$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{4} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}$

$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{5} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}$

$F\left ( X \right )=P\left ( X <x_{6} \right )=P_{1}+P_{2}+P_{3}+P_{4}+P_{5}=1$

Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь $x_{6}$ любое число, которое просто больше $x_{5}$ , $x_{6}>x_{5}$ . Сказанное можно изобразить графически ( рис.9.1 ), если по оси ординат откладывать вероятности $$P_{i}$,$ по оси абсцисс – сами значения случайной величины.

Рис. 9.1. Дискретная функция распределения случайной величины

Очевидно, что

$a_{1}=p_{1}; \ a_{2}-a_{1}=p_{2};$

$a_{3}-a_{2}=p_{3}; \ a_{4}-a_{3}=p_{4};$

$1-a_{4}=p_{5}.$

Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное $F(x)$ выглядела несколько бы иначе ( рис.9.2 ).

Рис. 9.2. Функция распределения для непрерывной случайной величины

Свойства функции F(x)

Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.

Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:

$0\leqslant F(x) \leqslant 1$

( 2)

Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал $[a,b]$ равно разности значений функций распределений на концах этого интервала

$P(a \leqslant x <b)=F(b)-F(a)$

( 3)

Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.

Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при $\beta > \alpha$ имеем

$F(\beta)-F(\alpha) \geqslant 0$

или

$F(\beta) \geqslant F(\alpha)$

Свойство 4. Значение функции распределения на $-\infty$ равно нулю, и единице ? на $+\infty$ , т.е.

$F(-\infty)=0; \ F(+\infty)=1$

Пример 1. Построить функцию распределения вариационного ряда $x_{i}$ $m_{i}$

Таблица возможных исходов
Xi	1	2	3	4	5	6
Mi	3	2	6	7	5	2

Решение. Найдем вероятности вариант. Если $N=25$ , то имеем

$P_{1}=\frac 3 {25}; \ P_{2}=\frac 2 {25}; \ P_{3}=\frac 6 {25}; \ P_{4}=\frac 7 {25}; \ P_{5}=\frac 2 {25}; \ P_{6}=\frac 5 {25}.$

Теперь построим функцию распределения математически (4)

$F(x)=\left\{\begin{array}{ccccccc}{0, \ \ \ \ \ \ x<1}\\{\frac 3 {25},1\leqslant x<2}\\{\frac 5 {25},2\leqslant x<3}\\{\frac {11} {25},3\leqslant x<4}\\{\frac {18} {25},4\leqslant x<5}\\{\frac {20} {25},5\leqslant x<6}\\{1,6\leqslant x}\\ \end{array}\right}$

( 4)

и графически (рис.9.3 ).

Рис. 9.3. Функция распределения

Дальше >>

Авторизоваться

Основы теории вероятностей

Функция распределения случайной величины. Виды распределения

Функция распределения

Свойства функции F(x)

Вопросы и ответы