Функция распределения случайной величины. Виды распределения
Функция распределения
Известно, что если события составляют полную совокупность, то . Тогда совокупность всех возможных значений случайной величины и соответствующих им вероятностей составляет распределение случайной величины.
Определение. Законом распределения или функций распределения случайной величины называется всякое соответствие между всевозможными значениями случайной величины и соответствующим им вариантом.
Определение. Случайные величины называются независимыми, если закон распределения одной не зависит от закона распределения другой.
В противном случае величины будут зависимыми.
Для дискретной случайной величины, которая может принимать значения _ функция распределения имеет вид:
( 1) |
Выражение (1) читается так: "функция распределения численно равна вероятности того, что случайная величина примет значение не больше, чем ".
Пусть теперь некоторая случайная величина примет значения из ряда с вероятностями , соответственно. Тогда очевидно, что вероятность того, что значение случайной величины будет меньше равно 0: , а вероятность того, что будет меньше , равна : . Вероятность, что случайная величина будет меньше будет равна , так как - это вероятность варианты , а - вероятность варианты . Случайная величина принимает одно значение из двух либо , потому . Но тогда, рассуждая аналогично, получаем:
Последнее выражение равно 1, так как все пять событий образуют полную группу. Здесь любое число, которое просто больше , . Сказанное можно изобразить графически ( рис.9.1 ), если по оси ординат откладывать вероятности по оси абсцисс – сами значения случайной величины.
Очевидно, что
Если бы наша случайная величина была бы непрерывной, то тогда распределенное выглядела несколько бы иначе ( рис.9.2 ).
Свойства функции F(x)
Функции распределения для дискретной и непрерывной величин обладают рядом одинаковых очевидных свойств, в вытекающих из ее определения.
Свойство 1. Функция распределения есть не отрицательная функция, значение которой изменяются от 0 до 1:
( 2) |
Свойство 2. Вероятность попадания случайной величины в некоторый интервал равно разности значений функций распределений на концах этого интервала
( 3) |
Следствие. Вероятность попадания непрерывной случайной величины в не конкретный интервал равна нулю.
Свойство 3. Функция распределения случайной величиной есть не убы-вающая функция, т. е. при имеем
илиСвойство 4. Значение функции распределения на равно нулю, и единице ? на , т.е.
Пример 1. Построить функцию распределения вариационного ряда
Решение. Найдем вероятности вариант. Если , то имеем
Теперь построим функцию распределения математически (4)( 4) |