Пример 3. В ящике лежат 100 отшлифованных поделочных камня и 80 не шлифован-ных. Из ящика извлекают 20 камней. Какое наивероятнейшее число шлифованных камней будет извлечено при этом.

Решение. Определим \[ $p$ \] и \[ $q$ \] - вероятности извлечения и шлифованного, и не шлифованного поделочного камня. Так как общее число камней в ящике 180, то эти вероятности просто подсчитать: \[ \[ p=\frac {100} {180} = \frac 5 9;\ q=1-\frac 5 9 = \frac 4 9 .\] \]

Тогда определим \[ $m_{0}$ \] по формуле (3): \[ \[ \ 20 \cdot \frac 5 9 -\frac 4 9 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot \frac 5 9 + \frac 5 9 .\] \] \[ \[ 10 \frac 2 3 \leqslant m_{0} \leqslant 11 \frac 2 3.\] \]

Округлим левую границу с избытком, а правую с недостатком получим, что \[ $m_{0}=11$ \] Т.е. среди 20 извлеченных камней не меньше 11 будут шлифованными.

Часто на практике приходиться решать обратную задачу, когда известно количество , а нужно определить сколько раз необходимо провести испытания.

Пример 4. В ящике лежат 100 шлифованных поделочных камня и 80 не шлифованных. Мастеру необходимо 11 шлифованных камней. Сколько камней, не выбирая, ему надо взять, чтобы среди взятых было нужное количество шлифованных камней?

Решение. Эта задача обратная задаче, рассмотренной в примере 3. Теперь известно \[ $m_{0}$ \] , нужно найти \[ $n$ \] . Для этого выполним простейшее преобразо-вание неравенства (3): отнимем от всех его частей \[ $np$ \] и \[ $m_{0}=11$ \] , получим \[ \[ \ np-q-np-m_{0} \leqslant m_{0}- np – m_{0} \leqslant np + p –np –m_{0}.\] \] \[ \[ \ -(q+m_{0}) \leqslant –np \leqslant p –m_{0}.\] \]

Умножим последнее неравенство на (- 1) и разделим на \[ $p$ \] , тогда (при умножении на -1 знаки неравенства меняются на противоположные): \[ \[ \ \frac {m_{0}-p} p \leqslant n \leqslant \frac {m_{0}+q} p.\] \]

Воспользуемся полученной формулой (4) для решения нашего примера. \[ \[ \ \frac {11- \frac 5 9} {\frac 5 9} \leqslant n \leqslant \frac {11- \frac 4 9} {\frac 5 9}, \] \]

откуда \[ \[ \ \frac {94} 5 \leqslant n \leqslant \frac {103} 5, \] \]

или \[ \[ \ 18 \frac 4 5 \leqslant n \leqslant 20 \frac 3 5, \] \]

Округляя до целых, получим, что мастеру надо достать 19 либо 20 камней, чтобы среди них гарантиро-ванно было 11 шлифованных.

Пример 5. Вероятность попадания стрелка в цель равна 0,8. Стрелок делает 20 выстре-лов. определить наивероятнейшее количество попаданий.

Решение. Для решения задачи воспользуемся формулой (3): \[ \[ \ 20 \cdot 0,8 - 0,2 \leqslant m_{0} \leqslant 20 \cdot 0,8 +0,8, \] \]

откуда

\[ \[ \ 15,8 \leqslant m_{0} \leqslant 16,8. \] \]

Следовательно, стрелок скорее всего попадет 16 раз.

Если число испытаний большое, \[ $n>100$ \] , а вероятность появления события при каждом испытании мала, \[ $p<0,3$ \] , то для отыскания вероятности что при \[ $n$ \] испытаниях некоторое событие случится \[ $m$ \] раз используют приближенную формулу Пуассона, которая является обобщением формулы Бернулли: \[ \[ \ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) \] \]

где

Формулу ( 5) часто называют локальной теоремой Муавра-Лапласса.

Здесь функция \[ $f(x)=\frac 1 {\sqrt {2\pi}} \cdot e^{- \frac {x^2} 2}$ \] . Существуют специальные таблицы, позволяющие вычислить значение данной функции по ее аргументу. На практике вычисляют \[ $x$ \] , а затем по таблицам определяют значение функции. Если аргумент получился отрицательным, то значение функции будет такое же, как и при положительном аргументе. Т.е. \[ $f(-x)=f(x)$ \] .

Если вероятность появления события мала ( \[ $p<0,3$ \] ), то для отыскания того, что испытание состоится \[ $m$ \] раз, можно воспользоваться формулой Пуассона: \[ \[ \ P_{n}(m) \approx \frac {\lambda_{n}^m e^{-\lambda_{n}}} {m!},\] \]

где \[ $\lambda_{n}=np$ \] - среднее число появления событий.

Если вероятность появления события меняется от испытания к испытанию, но сами испытания независимы, то тогда используется производящая функция \[ $\varphi (x)=\prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) $ \] , представляющая собой произведение вероятностных биномов. Эта функция обладает интересным свойством, которое просто проведем здесь без доказательства. После перемножения всех биномов и приведения подобных при \[ $x^m$ \] коэффициенты при степенях \[ $x$ \] представляют собой вероятность того, что событие появится \[ $m$ \] раз в \[ $n$ \] испытаниях, т.е. \[ \[ \prod\limits_{i \to1}^n \left (q_{i}+p_{i}x \right ) = \sum\limits_{m=0}^n P_{m,n}x^m\] \]

Пример 6. Связь с шестью дальними партиями была организована через радио посред-ством радиостанций. Каждый отряд в течение дня имеет возможность в любое время связаться с базой, где радиостанция работает круглосуточно. Если вероятность связи с каждым из отрядов 0,8, найти вероятность того, что в данный момент не менее четырех партий вышли на связь.

Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: \[ $n=6; \ p=0,8; \ q=1-p=1-0,8=0,2$ \] . Построим функцию \[ \[ \varphi (x) =(0,2-0,8x)^6 =\\= (0,2)^6+6 \cdot (0,2)^5 (0,8x)^1+15 \cdot (0,2)^4 (0,8x)^2 +20 \cdot (0,2)^3 (0,8x)^3 +15 \cdot (0,2)^2 (0,8x)^4+6 \cdot (0,2)^1 (0,8x)^5 +(0,8x)^6 =\\=0,000064+0,001536x+0,01536x^2+0,08192x^3+0,24576x^4+0,393216x^5+0,262144x^6 \] \]

Сумма всех коэффициентов равна 1, в чем можно убедиться самостоятельно. По условию задачи нам не-обходимо учесть коэффициенты при членах \[ $x^4; \ x^5; \ x^6$ \] . Тогда искомая вероятность будет равна \[ $P(A)=0.24276+0,39321+0,261144=0,90112\approx 0,9$ \]

Пример 7. Два специалиста сортируют алмазы, которые затем собирают по размерам. Вероятность ошибки первого 0,1, а второго - 0,3. Из отсортированных алмазов одного размера взяли 2. Най-ти вероятность того, что оба алмаза будут одного размера.

Решение. Для решения задачи воспользуемся производящей функцией. Определим па-раметры функции: для первого специалиста \[ $p_{1}=0,9; \ q_{1}=0,1; \ p_{2}=0,7; \ q_{2}=0,3$ \] .

Построим функцию: \[ $ varphi (x) =(0,1+0,9x) \cdot (0,3+0,7x)=0,03+0,34x+0,63x^2$ \] . По условию задачи нам необходимо учесть коэффициент при \[ $x^2$ \] , т.е. искомая вероятность будет равна \[ $P(A)=0,63$ \] .

Пример 8. Статистикой установлено, что из каждой 1000 родившихся детей в среднем рождается 485 девочек, а остальные - мальчики. В семье 5 детей. Найти вероятность того, что среди этих детей: 3 мальчика.

Решение. Для решения задачи воспользуемся локальной теоремой Муавра – Лапласа, для которой определим необходимые переменные: \[ $p=\frac {1000-485} {1000}=0,515; \ q=\frac {485} {1000}=0,485; \ n=5; \ m=3.$ \] .

Воспользуемся формулами (5) и (6): \[ $x=\frac {m-np} {\sqrt{npq}}=\frac {3-5 \cdot 0,515} {\sqrt{5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}}=\frac {0,425} {1,118} \approx 0,38$ \] . Из таблицы находим значение функции \[ $f(0,38) \approx 0,3712$ \]

Теперь полученные значения подставим в формулу (5), получим: \[ $ P_{m,n} =\frac 1 {\sqrt {npq}} \cdot f(x) = \frac 1 {\sqrt {5 \cdot 0,515 \cdot 0,485}} \cdot 0,3712 =\frac {0,3712} {1,118} \approx 0,332$ \]

Теорему Бернулли часто используют тогда, когда необходимо оценить вероятность наибольшего отклонения появления событий от ее ожидаемого значения. Случайной величиной в этом случае является число появлений событий и \[ $n$ \] независимых испытаниях. В этом случае теорема Бернулли записывается так: \[ \[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant \tau \right\} > 1-\frac {pq} {n\tau^2}\] \]

Пример 9. Из 1000 изделий, изготовленных цехом, проверили 200 случайно отобранных изделий. Среди них оказалось 25 изделий с браком. Приняв долю бракованных изделий среди отобранных за вероятность изготовления бракованного изделия, оценить вероятность того, что во всей партии бракованных изделий окажется не более 10%.

Решение. Определим вероятность изготовления бракованного изделия: \[ $p=\frac {25} {200} =0,125$ \] . Отклонение частости появлений бракованных изделий от вероятности \[ $p$ \] по абсолютной величине равно \[ $\left | \frac m n - p\right|=\left | 0,125-0,1\right| =0,025$. \] Число испытаний 1000. Используем формулу (9) и находим искомую вероятность: \[ \[ P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 1-\frac {0,125 \cdot 0,875} {1000 \cdot 0,025^2},\] \]

откуда \[ $P \left\{ \left | \frac m n –p \right| \leqslant 0,025 \right\} > 0,825$ \] - получаем ответ.