НОУ ИНТУИТ | Введение в математическое моделирование. Лекция 8: Генерирование на ЭВМ последовательностей равномерно распределенных случайных чисел. Моделирование нормально распределенной случайной величины

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Донецкий национальный технический университет

Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5968 / 2125 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00

Темы: Алгоритмы и дискретные структуры, Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 68 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Метод, основанный на центральной предельной теореме

Этот метод моделирования относится к третьему способу получения последовательности чисел с нормальным законом распределения. Метод основан на приближенном воспроизводстве условий, при которых справедлива центральная предельная теорема теории вероятности.

Согласно центральной предельной теореме, при сложении достаточно большого количества независимых случайных величин с произвольным законом распределения получается случайная величина, распределенная по нормальному закону. Опыт показывает, что при сложении всего шести (k=6) случайных величин равномерно распределенных на интервале [0,1], получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной.

Рассмотрим метод аппроксимации нормально распределенной случайной величины Х, основанный на использовании двенадцати (k=12) равномерно распределенных случайных величин.

Алгоритм метода:

Сложить 12 равномерно распределенных псевдослучайных чисел y_i.
Пронормировать полученную сумму, т.е. получить случайную величину T с М(Т)=0 и $\sigma =1$ , где Т – нормально распределенная случайная величина.
Результат привести в соответствие с заданным математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением $\sigma$ .

Нормально распределенная случайная величина X с требуемыми значениями математического ожидания и среднеквадратичного отклонения $\sigma$ определяется как:

$x= \sigma \cdot T + a.$

Пусть

$Z=\sum_{i=n}^{12}y_i,$

где y_i – независимые равномерно распределенные на интервале [0,1] случайные величины.

Ранее было показано, что математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной на интервале [0,1] случайной величины Y соответственно равны:

$M(Y)=\frac{1}{2}; D(Y)=\sigma_y^2= \frac{1}{12}.$

Тогда математическое ожидание суммы Z равно:

$M(Z)=\sum_{i=1}^{12}M(Y)=12\frac{1}{2}=6.$

а ее дисперсия D(Z) равна:

$D(Z)= \sigma_s^2= \sum_{i=1}^{12}D(Y)=12 * \frac{1}{12}=1.$

Пронормируем сумму Z, т.е. перейдем от нее к величине:

$T=(Z – M(Z))/ \sigma_s = (Z-6)/1 = Z – 6.$

Переходя к требуемым математическому ожиданию a и среднеквадратичному отклонению $\sigma$ , окончательно имеем:

$x=\sigma \cdot T + a = \sigma (Z – 6) +a.$

Таким образом, чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратичным отклонением, равным единице, необходимо взять 12 равномерно распределенных чисел, сложить их, а из суммы вычесть 6, т.е.:

$T=\sum_{i=1}^{12}y_i-6.$

( 8.4)

Чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с требуемым математическим ожиданием a и требуемым среднеквадратичным отклонением $\sigma$ необходимо из суммы двенадцати равномерно распределенных чисел вычесть 6, а результат умножить на $\sigma$ и прибавить a, т.е.

$x=(\sum_{i=1}^{12}y_i-6)\sigma + a.$

( 8.5)

Дальше >>

Авторизоваться

Введение в математическое моделирование

Генерирование на ЭВМ последовательностей равномерно распределенных случайных чисел. Моделирование нормально распределенной случайной величины

Метод, основанный на центральной предельной теореме

Вопросы и ответы