Донецкий национальный технический университет
Опубликован: 15.03.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 5053 / 1436 | Оценка: 4.11 / 3.78 | Длительность: 12:32:00
Специальности: Математик
Лекция 8:

Генерирование на ЭВМ последовательностей равномерно распределенных случайных чисел. Моделирование нормально распределенной случайной величины

< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >

Метод, основанный на центральной предельной теореме

Этот метод моделирования относится к третьему способу получения последовательности чисел с нормальным законом распределения. Метод основан на приближенном воспроизводстве условий, при которых справедлива центральная предельная теорема теории вероятности.

Согласно центральной предельной теореме, при сложении достаточно большого количества независимых случайных величин с произвольным законом распределения получается случайная величина, распределенная по нормальному закону. Опыт показывает, что при сложении всего шести (k=6) случайных величин равномерно распределенных на интервале [0,1], получается случайная величина, которая с точностью, достаточной для большинства прикладных задач, может считаться нормальной.

Рассмотрим метод аппроксимации нормально распределенной случайной величины Х, основанный на использовании двенадцати (k=12) равномерно распределенных случайных величин.

Алгоритм метода:

  1. Сложить 12 равномерно распределенных псевдослучайных чисел yi.
  2. Пронормировать полученную сумму, т.е. получить случайную величину T с М(Т)=0 и \sigma =1, где Т – нормально распределенная случайная величина.
  3. Результат привести в соответствие с заданным математическим ожиданием и среднеквадратичным отклонением \sigma.

Нормально распределенная случайная величина X с требуемыми значениями математического ожидания и среднеквадратичного отклонения \sigma определяется как:

x= \sigma \cdot T + a.

Пусть

Z=\sum_{i=n}^{12}y_i,
где yi – независимые равномерно распределенные на интервале [0,1] случайные величины.

Ранее было показано, что математическое ожидание и дисперсия равномерно распределенной на интервале [0,1] случайной величины Y соответственно равны:

M(Y)=\frac{1}{2}; D(Y)=\sigma_y^2= \frac{1}{12}.

Тогда математическое ожидание суммы Z равно:

M(Z)=\sum_{i=1}^{12}M(Y)=12\frac{1}{2}=6.

а ее дисперсия D(Z) равна:

D(Z)= \sigma_s^2= \sum_{i=1}^{12}D(Y)=12 * \frac{1}{12}=1.

Пронормируем сумму Z, т.е. перейдем от нее к величине:

T=(Z – M(Z))/ \sigma_s = (Z-6)/1 = Z – 6.

Переходя к требуемым математическому ожиданию a и среднеквадратичному отклонению \sigma, окончательно имеем:

x=\sigma \cdot T + a = \sigma (Z – 6) +a.

Таким образом, чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с математическим ожиданием, равным нулю, и среднеквадратичным отклонением, равным единице, необходимо взять 12 равномерно распределенных чисел, сложить их, а из суммы вычесть 6, т.е.:

T=\sum_{i=1}^{12}y_i-6. ( 8.4)

Чтобы определить значение нормально распределенной случайной величины с требуемым математическим ожиданием a и требуемым среднеквадратичным отклонением \sigma необходимо из суммы двенадцати равномерно распределенных чисел вычесть 6, а результат умножить на \sigma и прибавить a, т.е.

x=(\sum_{i=1}^{12}y_i-6)\sigma + a. ( 8.5)
< Лекция 7 || Лекция 8: 1234 || Лекция 9 >
Александр Никитин
Александр Никитин

Добрый день.

В расчете параметра Т4 xi суммируется с величиной h/2 ?

Елена Голяева
Елена Голяева
Александр Кибирев
Александр Кибирев
Россия, Иваново, Ивановский государственный университет, 1999