Производящие функции и рекуррентные соотношения
Применение степенных рядов для доказательства тождеств
С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.
Рассмотрим, например, известное нам разложение
Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем
( 10.1) |
( 10.2) |
( 10.3) |
Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же равен
Но функцию можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем А разложение для получается из разложения (10.1), если заменить в нем на :( 10.4) |
Производящие функции
Пусть дана некоторая последовательность чисел . Образуем степенной ряд
Если этот ряд сходится в какой-то области к функции , то эту функцию называют производящей для последовательности чисел Например, из формулы вытекает, что функция является производящей для последовательности чисел. А формула (10.1) показывает, что для последовательности чисел . производящей является функция .Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей , так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью таких функций удается получить самые разные свойства этих последовательностей. Кроме того, мы рассмотрим, как связаны производящие функции с решением рекуррентных соотношений.