Комбинаторные алгоритмы для программистов
[+]
Новосибирский Государственный Университет
Опубликован: 08.11.2006 | Доступ: платный | Студентов: 23 / 4 | Оценка: 4.27 / 4.09 | Длительность: 12:16:00
Темы: Программирование, Алгоритмы и дискретные структуры
Специальности: Программист
Теги: алгоритмы, анализ, внешняя сортировка, дерево бинарного поиска, операция включения, остовное дерево, подтаблица, поиск, последовательный поиск, производящая функция, процедуры, размещения без повторений, сортировка, статистика, степенные ряды, структуры данных, указатели, фотографии, характеристическое уравнение, элементы
Лекция 10:

Производящие функции и рекуррентные соотношения
A
|
версия для печати
< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Аннотация: Применение степенных рядов для доказательства тождеств. Производящие функции. Бином Ньютона. Ряд Ньютона. Производящие функции и рекуррентные соотношения. О едином нелинейном рекуррентном соотношении.
Ключевые слова: степенные ряды, функция, коэффициенты, тождество, производящая функция, размещения без повторений, выражение, равенство, место, натуральное число, числитель, алгебраические

Применение степенных рядов для доказательства тождеств

С помощью степенных рядов можно доказывать многие тождества. Для этого берут некоторую функцию и двумя способами разлагают ее в степенной ряд. Поскольку функция может быть представлена лишь единственным образом в виде степенного ряда, то коэффициенты при одинаковых степенях x в обоих рядах должны совпадать. Это и приводит к доказываемому тождеству.

Рассмотрим, например, известное нам разложение

\frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots

Возведя обе части этого разложения в квадрат, получаем

\frac{1}{{(1 - x)^2 }} = 1 + 2x + 3x^2 + \ldots + (n + 1)x^n + \ldots ( 10.1)
Если заменить здесь x на – x, то получим, что
\frac{1}{{(1 + x)^2 }} = 1 - 2x + 3x^2 - \ldots + ( - 1)^n (n + 1)x^n + \ldots ( 10.2)
Перемножив разложения (10.1) и (10.2), выводим, что
\begin{gathered} \frac{1} {{(1 - x)^2 }}\frac{1} {{(1 + x)^2 }} = 1 + [1( - 2) + 2 \cdot 1]x + [1 \cdot 3 + 2( - 2) + 3 \cdot 1]x^2 + \hfill \\ \ldots + [1( - 1)^n (n + 1) + 2( - 1)^{n - 2} n + \ldots + ( - 1)^n (n + 1) \cdot 1]x^n + \ldots \hfill \\ \end{gathered} ( 10.3)

Очевидно, что коэффициенты при нечетных степенях x обращаются в нуль, каждое слагаемое дважды входит в эти коэффициенты с противоположными знаками. Коэффициент же x^{2n} равен

1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots + (2n + 1).
Но функцию \frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }} можно разложить в степенной ряд и иным образом. Мы имеем
\frac{1}{{(1 - x)^2 (1 + x)^2 }}=\frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }},
А разложение для \frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }} получается из разложения (10.1), если заменить в нем x на x^2:
\frac{1}{{(1 - x^2 )^2 }}=1 + 2x^2 + 3x^4 + \ldots + (n + 1)x^{2n} +.... ( 10.4)
Мы знаем, что никакая функция не может иметь двух различных разложений в степенные ряды. Поэтому коэффициент при x^{2n} разложении (10.3) должен равняться коэффициенту при x^{2n} в разложении (10.4). Отсюда вытекает следующее тождество:
1(2n + 1) - 2 \cdot 2n + 3(2n - 1) - \ldots + (2n + 1)=n + 1.

Производящие функции

Пусть дана некоторая последовательность чисел a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots. Образуем степенной ряд

a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n + \ldots.
Если этот ряд сходится в какой-то области к функции f(x), то эту функцию называют производящей для последовательности чисел a_0,a_1,\ldots,a_n,\ldots Например, из формулы
\frac{1}{{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots
вытекает, что функция \frac{1} {{1 - x}} является производящей для последовательности чисел. А формула (10.1) показывает, что для последовательности чисел 1, 2, 3, 4, ..., n, ... производящей является функция \frac{1} {{(1 - x)^2 }}.

Нас будут интересовать производящие функции для последовательностей a_0, a_1,\ldots,a_n,\ldots, так или иначе связанных с комбинаторными задачами. С помощью таких функций удается получить самые разные свойства этих последовательностей. Кроме того, мы рассмотрим, как связаны производящие функции с решением рекуррентных соотношений.

Дальше >>
< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >

Вопросы и ответы

вопросов: 0