НОУ ИНТУИТ | Комбинаторные алгоритмы для программистов. Лекция 9: Комбинаторика и ряды

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.11.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Аннотация: Введение. Деление многочленов. Алгебраические дроби и степенные ряды. Действия над степенными рядами.

Введение

Метод рекуррентных соотношений позволяет решать многие комбинаторные задачи. Но в целом ряде случаев рекуррентные соотношения довольно трудно составить, а еще труднее решить. Зачастую эти трудности удается обойти, использовав производящие функции. Поскольку понятие производящей функции связано с бесконечными степенными рядами, познакомимся с этими рядами.

Деление многочленов

Если заданы два многочлена f(x) и $\varphi (x)$ , то всегда существуют многочлены q(x) ( частное ) и r(x) ( остаток ), такие, что $f(x) = \varphi (x)q(x) + r(x)$ , причем степень r(x) меньше степени $\varphi (x)$ или r(x) = 0 . При этом f(x) называется делимым, а $\varphi (x)$ - делителем. Если же мы хотим, чтобы деление выполнялось без остатка, то придется допустить в качестве частного не только многочлены, но и бесконечные степенные ряды. Для получения частного надо расположить многочлены по возрастающим степеням и делить "углом", начиная с младших членов. Рассмотрим, например, деление на 1 - x

$\arraycolsep=0pt \begin{array}{rrrrl} 1 &&&&\multicolumn{1}{|l}{1-x}\\ \cline{5-5} \mp1&{}\pm x &&& \multicolumn{1}{|l}{1+x+x^2+\ldots}\\ \cline{1-4} & x \\ &{}\mp x &\pm x^2\\ \cline{2-3} && x^2\\ && \mp x^2&\pm x^3\\ \cline{3-4} &&& x^3\hbox to 0pt{\ldots\hss} \end{array}$

Ясно, что процесс деления никогда не закончится ( так же, например, как при обращении числа $\frac{1}{3}$ в бесконечную десятичную дробь). С помощью индукции легко убедиться, что все коэффициенты частного равны единице. Поэтому в качестве частного получается бесконечный ряд $1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$ . Вообще, если f(x)

и $\varphi (x)$ - два многочлена

$f(x) = a_0 + \ldots + a_n x^n,$

$\varphi (x) = b_0 + \ldots + b_m x^m,$

причем свободный член b_0

многочлена $\varphi (x)$ отличен от нуля, $b_0^{} \ne 0$ , то при делении f(x)

на $\varphi (x)$ получается бесконечный ряд

$c_0+c_1x+\ldots+c_kx^k+\ldots$

( 9.1)

Лишь в случае, когда f(x) делится без остатка на $\varphi (x)$ , ряд (9.1) обрывается и мы получаем многочлен.

Алгебраические дроби и степенные ряды

При делении многочлена f(x) на многочлен $\varphi (x)$ мы получаем бесконечный степенной ряд. Возникает вопрос: как связан этот ряд с алгебраической дробью $\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}}$ , то есть какой смысл можно придать записи

$\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$

( 9.2)

Рассмотрим, например, разложение

$\frac{1}{{1 - x}} \cong 1 + x + x^2 + \ldots + x^n + \ldots$

( 9.3)

Мы не пишем здесь знака равенства, так как не знаем, какой смысл имеет стоящая справа сумма бесконечного числа слагаемых. Чтобы выяснить это, попробуем подставлять в обе части соотношения (9.3) различные значения

. Сначала положим $x = \frac{1}{{10}}$ . Тогда левая часть соотношения примет значение $\frac{{10}}{9}$ , а правая превратится в бесконечный числовой ряд 1+0,1+0,01+...+0.000...01+..

. Так как мы не умеем складывать бесконечно много слагаемых, попробуем взять сначала одно слагаемое, потом - два, потом - три и так далее слагаемых. Мы получим такие суммы: 1; 1,1; 1,11; ... ; 1,111...1;

. Ясно, что с возрастанием

эти суммы приближаются к значению $\frac{{10}} {9} = 1,11\ldots$ , которое приняла левая часть соотношения (9.3) при $x = \frac{1}{{10}}$ .

То же самое получится, если вместо подставить в обе части (9.3) число $\frac{1}{2}$ . Левая часть равенства примет значение 2, а правая превратится в бесконечный числовой ряд $1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {4} + \frac{1} {8} + \ldots + \frac{1} {{2^n }} + \ldots$ Беря последовательно одно, два, три, четыре, слагаемых, мы получим числа 1; $1\frac{1} {2}$ ; $1\frac{3} {4}$ ; $1\frac{7} {8}$ ,…, $2 - \frac{1} {{2^n }}$ . Ясно, что с возрастанием эти числа стремятся к числу 2.

Однако, если взять x = 4 , то левая часть (9.3) примет значение $- \frac{1} {3}$ , а в правой получим ряд $1 + 4 + 4^2 + \ldots + 4^n+…$ Если последовательно складывать члены этого ряда, то получаются суммы 1; 5; 21; 85; … Эти суммы неограниченно увеличиваются и не приближаются к числу $- \frac{1} {3}$ .

Мы встретились, таким образом, с двумя случаями. Чтобы их различать, введем общее понятие о сходимости и расходимости числового ряда. Пусть задан бесконечный числовой ряд

$a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots$

( 9.4)

Говорят, что бесконечный числовой ряд сходится к числу

, если разность $b - (a_1 + a_2 + \ldots + a_n )$ стремится к нулю при неограниченном увеличении

. Иными словами, какое бы число $\varepsilon > 0$ мы ни указали, отклонение суммы $a_1 + \ldots + a_n$ от

, начиная с некоторого номера

, окажется меньше $\varepsilon$ :

$\left| {b - (a_1 + \ldots + a_n )} \right| < \varepsilon \text{ если }n \geqslant N.$

В этом случае число

называют суммой бесконечного ряда $a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots$ и пишут

$b =a_1 + a_2 + \ldots + a_n + \ldots.$

Если не существует числа

, к которому сходится данный ряд (9.4), то этот ряд называют расходящимся.

Проведенное выше исследование показывает, что

$\frac{{10}}{9} = 1 + 0,1 + 0,01 + \ldots + 0,00\ldots 01 + \ldots,$

$2 = 1 + \frac{1} {2} + \frac{1} {4} + \ldots + \frac{1} {{2^n }} + \ldots,$

в то время как ряд $1 + 4 + 16 + \ldots + 4^n +$ ... расходится. Более тщательное исследование показывает, что если $\left| x \right| < 1$ , то ряд $1 + x + \ldots + x^n + \ldots$ сходится к $\frac{1}{{1 - x}}$ , а если $\left| x \right| > 1$ , то он расходится. Чтобы доказать это утверждение, достаточно заметить, что

$1 + x + \ldots x^n = \frac{{1 - x^{n + 1} }}{{1 - x}}$

и что при $n \to \infty$ выражение $x^{n + 1}$ стремится к нулю, если $\left| x \right| < 1$ , и к бесконечности, если $\left| x \right| \geqslant 1$ . При $x = \pm 1$ получаем расходящиеся числовые ряды $1 + 1 + \ldots + 1 + \ldots$ и $1 - 1 + \ldots + 1 - 1 + \ldots$ .Итак, если $\left| x \right| < 1$ , то

$\frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots$

( 9.5)

Отметим, что равенство (9.5) - это известная из школьного курса математики формула для суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

Мы выяснили, таким образом, смысл записи

$\frac{1} {{1 - x}} = 1 + x + \ldots + x^n + \ldots.$

Она показывает, что для значений

, лежащих в некоторой области, а именно при $\left| x \right| < 1$ , стоящий справа ряд сходится к $\frac{1} {{1 - x}}$ . Говорят, что функция $\frac{1} {{1 - x}}$ при $\left| x \right| < 1$ разлагается в степенной ряд $1 + x + \ldots + x^n + \ldots$ .Теперь уже можно выяснить и более общий вопрос.

Пусть при делении многочлена f(x) на многочлен $\varphi (x)$ получился степенной ряд

$c_0 + c_1 x + \ldots + c_n x^n + \ldots$

( 9.6)

Оказывается, что тогда при достаточно малых значениях

ряд (9.6) сходится к $f(x)/ \varphi (x)$ . Размеры области сходимости зависят от корней знаменателя, то есть чисел, при которых знаменатель обращается в нуль. Именно, если эти числа равны $x_1,\ldots,x_k$ и