Комбинаторика и ряды

Действия над степенными рядами

Перейдем теперь к действиям над степенными рядами. Пусть функции и разложены в степенные ряды

Тогда Оказывается, что слагаемые в правой части равенства можно переставить и сгруппировать вместе члены с одинаковыми степенями . Это утверждение совсем не так очевидно, как кажется на первый взгляд. Ведь в правой части равенства у нас бесконечные суммы, а в бесконечных суммах переставлять слагаемые можно далеко не всегда. После этой перегруппировки мы получим Ряд, стоящий в правой части равенства (9.14), называется суммой степенных рядов (9.12) и (9.13).

Посмотрим теперь, как разлагается в степенной ряд произведение функций и . Мы имеем

Оказывается, что как и в случае многочленов, ряды, стоящие в правой части равенства (9.15), можно почленно перемножать. Мы опускаем доказательство этого утверждения. Найдем ряд, получающийся после почленного перемножения. Свободный член этого ряда равен . Члены, содержащие , получатся дважды: при умножении на и при умножении на . Они дают Точно так же вычисляются члены, содержащие . Таким образом, Ряд, стоящий в правой части равенства (9.16), называется произведением рядов (9.12) и (9.13).

В частности, возводя ряд (9.12) в квадрат, получаем

Посмотрим теперь, как делят друг на друга степенные ряды. Пусть свободный член ряда (9.13) отличен от нуля. Покажем, что в этом случае существует такой степенной ряд

что Для доказательства перемножим ряды в левой части этого равенства. Мы получим ряд

Для того чтобы этот ряд совпадал с рядом (9.12), необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

Эти равенства дают бесконечную систему уравнений для отыскания коэффициентов Из первого уравнения системы получаем . Подставим полученное значение во второе уравнение. Мы получим уравнение из которого находим, что . Вообще, если уже найдены коэффициенты , то для отыскания имеем уравнение Это уравнение разрешимо, поскольку .Итак, мы доказали существование ряда (9.18), удовлетворяющего соотношению (9.19). Ряд (9.18) называют частным при делении рядов (9.12) и (9.13). Можно доказать, что он получается при разложении функции . Таким образом, степенные ряды можно складывать, умножать и делить (последнее - при условии, что свободный член делителя отличается от нуля). Эти действия соответствуют действиям над разлагаемыми функциями.