Алгоритмы рекуррентных соотношений

Решение рекуррентных соотношений

Будем говорить, что рекуррентное соотношение имеет порядок , если оно позволяет выразить через . Например,

рекуррентное соотношение второго порядка, а - рекуррентное соотношение третьего порядка. Если задано рекуррентное соотношение -го порядка, то ему удовлетворяет бесконечно много последовательностей. Дело в том, что первые элементов последовательности можно задать совершенно произвольно - между ними нет никаких соотношений. Но если первые элементов заданы, то все остальные элементы определяются совершенно однозначно - элемент выражается в силу рекуррентного соотношения через элемент - через и т.д.

Пользуясь рекуррентным соотношением и начальными членами, можно один за другим выписывать члены последовательности, причем рано или поздно получим любой ее член. Однако при этом придется выписать и все предыдущие члены - ведь не узнав их, мы не узнаем и последующих членов. Но во многих случаях нужно узнать только один определенный член последовательности, а остальные не нужны. В этих случаях удобнее иметь явную формулу для -го члена последовательности. Некоторая последовательность является решением данного рекуррентного соотношения, если при подстановке этой последовательности соотношение тождественно выполняется. Например, последовательность

является одним из решений рекуррентного соотношения В самом деле, общий член этой последовательности имеет вид . Значит, . Но при любом имеет место тождество . Поэтому является решением указанного соотношения.

Решение рекуррентного соотношения -го порядка называется общим, если оно зависит от произвольных постоянных и путем подбора этих постоянных можно получить любое решение данного соотношения. Например, для соотношения

общим решением будет В самом деле, легко проверить, что последовательность (8.2) обращает (8.1) в тождество. Поэтому нам надо только показать, что любое решение нашего соотношения можно представить в виде (8.2). Но любое решение соотношения (8.1) однозначно определяется значениями и . Поэтому нам надо доказать, что для любых чисел и найдутся такие значения и , что и Но легко видеть, что при любых значениях и система уравнений имеет решение. Поэтому (8.2) действительно является общим решением соотношения (8.1).