Алгоритмы рекуррентных соотношений

Производящие функции

В комбинаторных задачах на подсчет числа объектов при наличии некоторых ограничений искомым решением часто является последовательность , где - число искомых объектов "размерности" . Например, если мы ищем число разбиений числа, то можем принять , если ищем число подмножеств -элементного множества, то и т.д. В этом случае удобно последовательности , поставить в соответствие формальный ряд

называемый производящей функцией для данной последовательности. Название формальный ряд для данной последовательности означает, что (8.12) мы трактуем только как удобную запись нашей последовательности - в данном случае несущественно, для каких (действительных или комплексных) значений переменной он сходится. Поэтому мы никогда не будем вычислять значение такого ряда для конкретного значения переменной , мы будем только выполнять некоторые операции на таких рядах, а затем определять коэффициенты при отдельных степенях переменной . Для произвольных рядов мы определим операцию сложения: операцию умножения на число (действительное или комплексное): и произведение Коши где Если для , то ряд (8.12) будем отождествлять с многочленом . Из математического анализа известно, что если ряд (8.12) сходится в некоторой окрестности нуля, то его сумма является аналитической функцией в этой окрестности и ( обозначает значение -й производной функции для ; ряд 8.12 - это не что иное, как ряд Маклорена функции ). Более того, когда являются аналитическими функциями в окрестности нуля, то формулы (8.13)-(8.16) будут справедливы, если трактовать как значения функций в точке , а ряды понимать в обычном смысле, т.е. так, как в математическом анализе. Это сохраняющее операции взаимно однозначное соответствие между рядами, сходящимися в окрестности нуля, и функциями, аналитическими в окрестности нуля, позволяет отождествить формальный ряд (8.12) с определенной через него аналитической функцией в случае рядов, сходящихся в окрестности нуля (несмотря на то, что ряды мы будем трактовать всегда как формальные ряды, то есть только как формальную запись их коэффициентов). Таким образом, будем писать, например, и т.д.