НОУ ИНТУИТ | Комбинаторные алгоритмы для программистов. Лекция 10: Производящие функции и рекуррентные соотношения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 08.11.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет

|

Вам нравится? Нравится 34 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Производящие функции и рекуррентные соотношения

Теория производящих функций тесно связана с рекуррентными соотношениями. Вернемся снова к делению многочленов. Пусть функции f(x) и $\varphi (x)$ разложены в степенные ряды,

$f\left( x \right) = a_0 + a_1 x + \ldots a_n x^n + \ldots$

$\varphi (x) = b_0 + b_1 x + \ldots b_n x^n \ldots$

- два многочлена, причем $b_0 \ne 0$ . Мы будем, кроме того, предполагать, что n < m

, то есть, что алгебраическая дробь $\frac{{f(x)}}{{\varphi (x)}}$ правильна (в противном случае мы всегда можем выделить из нее целую часть). Мы знаем, что если

$\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = c_0 + c_{1x} x + \ldots + c_k x^k + \ldots,$

( 10.10)

то

$a_0 + a_1 x + \ldots + a_n x^n =$

$= (b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m )(c_0 + c_1 x + \ldots + c_k x^k + \ldots ).$

Раскроем в правой части этого равенства скобки и сравним коэффициенты при одинаковых степенях

слева и справа. Сначала мы получим

соотношений такого вида:

$\begin{gathered} b_0 c_0 = a_0,\\ b_0 c_1 + b_1 c_0 = a_1,\\ b_0 c_2 + b_1 c_1 + b_2 c_0 = a_2,\\ .....................\\ b_0 c_{m - 1} + b_1 c_{m - 2} + \ldots + b_{m - 1} c_0 = a_{m - 1} \end{gathered}$

( 10.11)

(если

, то мы считаем, что $a_{n + 1} = \ldots = a_{m - 1} = 0$ ). А дальше все соотношения имеют один и тот же вид:

$b_0 c_{m + k} + b_1 c_{m + k - 1} + \ldots + b_m c_k = 0 ,\quad k = 0,1\ldots.$

( 10.12)

(ведь в

нет членов, содержащих $x^m,x^{m + 1}$ и т.д.). Таким образом, коэффициенты $c_0,c_1,\ldots,c_k,\ldots$ ряда (10.10) удовлетворяют рекуррентному соотношению (10.12). Коэффициенты этого соотношения зависят лишь от знаменателя дроби. Числитель же дроби нужен для нахождения первых членов $c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}$ рекуррентной последовательности.

Обратно, если дано рекуррентное соотношение (10.12) и заданы члены $c_0,c_1,\ldots,c_{m-1}$ , то мы сначала по формулам (10.11) вычислим значения $a_0,\ldots,a_{m - 1}$ . А тогда производящей функцией для последовательности чисел $c_0,c_1,\ldots,c_k,\ldots$ является алгебраическая дробь

$\frac{{f(x)}} {{\varphi (x)}} = \frac{{a_0 + ax + \ldots + a_{m - 1} x^{m - 1} }} {{b_0 + b_1 x + \ldots + b_m x^m }}.$

( 10.13)

На первый взгляд кажется, что мы мало выиграли при замене рекуррентного соотношения производящей функции. Ведь все равно придется делить числитель на знаменатель, а это приведет к тому же самому рекуррентному соотношению (10.12). Но дело в том, что над дробью (10.13) можно выполнять некоторые алгебраические преобразования, а это облегчит отыскание чисел c_k