Бином Ньютона
Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел . Известно, что
и
Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей
разложение для
. Запишем
в виде
|
(
10.4)
|
Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все
множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например,
запишем в виде
|
(
10.5)
|
а
- в виде
|
(
10.6)
|
Видно, что в формулу (10.5) входят все
размещения с повторениями,
составленные из букв
и
по две буквы в каждом
размещении, а в формулу (10.6) -
размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие
из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в
формуле (10.4) мы получим всевозможные
размещения с повторениями букв
и
, состоящие из
элементов. Приведем подобные
члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв
(тогда и букв
в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит
букв
и, следовательно,
букв
. Эти
члены являются перестановками с повторениями, составленными из
букв
и
букв
. Поэтому их число равно
Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов
выражение войдет с коэффициентом
. Итак, мы доказали, что
|
(
10.7)
|
Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом
равенстве
, то получим
|
(
10.8)
|
Мы видим, что
является производящей функцией для
чисел
,
.
С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать
многие свойства чисел
.
Ряд Ньютона
Мы назвали, как это обычно делают, формулу биномом
Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно.
Формулу для хорошо знали среднеазиатские математики
Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В
Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же
Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу на
случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если -
положительное число и , то для любого
действительного значения имеет место равенство
|
(
10.9)
|
Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В
случае, когда
-
натуральное число,
обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с
-го,
и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном
ряд (10.9) превращается в конечную сумму.