Опубликован: 08.11.2006 | Уровень: специалист | Доступ: платный | ВУЗ: Новосибирский Государственный Университет
Лекция 10:

Производящие функции и рекуррентные соотношения

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >

Бином Ньютона

Получим производящую функцию для конечной последовательности чисел C_n^0,C_n^1,\ldots,C_n^n. Известно, что

(a + x)^2  = a^2  + 2ax + x^2
и
(a + x)^3  = a^3  + 3a^2 x + 3ax^2  + x^3.
Эти равенства являются частными случаями более общей формулы, дающей разложение для (a + x)^n. Запишем (a + x)^n в виде
(a + x)^n  = \underbrace{(a + x)(a + x)\ldots (a + x)}_{n \text{ раз}}. ( 10.4)
Раскроем скобки в правой части этого равенства, причем будем записывать все множители в том порядке, в котором они нам встретятся. Например, (a +x)^2 запишем в виде
(a + x)^2  = (a + x)(a + x) = aa + ax + xa + xx, ( 10.5)
а (a + x)^3 - в виде
(a + x)^3  = (a + x)(a + x)(a + x) =\\= aaa + aax + axa + axx + xaa + xax + xxa + xxx. ( 10.6)
Видно, что в формулу (10.5) входят все размещения с повторениями, составленные из букв x и a по две буквы в каждом размещении, а в формулу (10.6) - размещения с повторениями из тех же букв, но состоящие из трех букв каждое. То же самое и в общем случае — после раскрытия скобок в формуле (10.4) мы получим всевозможные размещения с повторениями букв x и a, состоящие из n элементов. Приведем подобные члены. Подобными будут члены, содержащие одинаковое количество букв x (тогда и букв a в них будет поровну). Найдем, сколько будет членов, в которые входит k букв x и, следовательно, n - k букв a. Эти члены являются перестановками с повторениями, составленными из k букв x и n - k букв a. Поэтому их число равно
P(k,n - k) = C_n^k  = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}.
Отсюда вытекает, что после приведения подобных членов выражение x^k a^{n
- k} войдет с коэффициентом C_n^k  = \frac{{n!}}{{k!(n - k)!}}. Итак, мы доказали, что
(a + x)^n  = C_n^0 a^n  + C_n^1 a^{n - 1} x + \ldots + C_n^k a^{n - k} x^k  + \ldots  + C_n^n x^n. ( 10.7)
Равенство (10.7) принято называть формулой бинома Ньютона. Если положить в этом равенстве a = 1, то получим
(1 + x)^n  = C_n^0  + C_n^1 x + \ldots  + C_n^k x^k  + \ldots  + C_n^n x^n. ( 10.8)
Мы видим, что (1 + x)^n является производящей функцией для чисел C_n^k, k = 0,1,\ldots. С помощью этой производящей функции можно сравнительно просто доказать многие свойства чисел C_n^k.

Ряд Ньютона

Мы назвали, как это обычно делают, формулу (a + x)^n биномом Ньютона. Это наименование с точки зрения истории математики неверно. Формулу для (a + x)^n хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэдди и другие. В Западной Европе задолго до Ньютона она была известна Блэзу Паскалю. Заслуга же Ньютона была в ином - ему удалось обобщить формулу (a + x)^n на случай нецелых показателей. Именно, он доказал, что если a - положительное число и \left| x \right| < a, то для любого действительного значения \alpha имеет место равенство

\begin{gathered}
(x + a)^\alpha   = a^\alpha   + \alpha a^{\alpha  - 1} x + \frac{{\alpha
(\alpha  - 1)}}
{{1 \cdot 2}}a^{\alpha  - 2} x^2  + \ldots \\
\ldots  + \frac{{\alpha (\alpha  - 1)\ldots (\alpha  - k + 1)}}
{{1 \cdot 2\ldots k}}a^{\alpha  - k} x^k  + \ldots
\end{gathered} ( 10.9)
Только теперь получилось не конечное число слагаемых, а бесконечный ряд. В случае, когда n - натуральное число, (n - n) обращается в нуль. Но эта скобка входит в коэффициент всех членов, начиная с (n + 2) -го, и потому все эти члены разложения равны нулю. Поэтому при натуральном n ряд (10.9) превращается в конечную сумму.

< Лекция 9 || Лекция 10: 123 || Лекция 11 >
Денис Хажиев
Денис Хажиев
Россия
Замир Ашурбеков
Замир Ашурбеков
Россия