Классы Sigma _n и Pi _n

Мы уже говорили, что перечислимые множества можно эквивалентно определить как проекции разрешимых множеств: множество \[ A \subset N \] перечислимо тогда и только тогда, когда существует разрешимое множество \[ B \subset N \times N \] , проекцией которого оно является. Если отождествлять множества со свойствами, то можно сказать, что свойство A(x) натуральных чисел перечислимо тогда и только тогда, когда его можно представить в виде

\[ A(x) \Leftrightarrow \exists\ y\ B(x,y), \]

где B(x,y) некоторое разрешимое свойство.

(В этом разделе мы предполагаем знакомство читателя с простейшими логическими обозначениями: квантор \[ \exists x \] читается как " существует x ", квантор \[ \forall x \] читается как " для всех x ", знак \[ \wedge \] читается как " и" и называется конъюнкцией, знак \[ \vee \] читается как " или" и называется дизъюнкцией, знак \[ \neg \] читается как " неверно, что" и называется отрицанием. Как и раньше, знак \[ \Leftrightarrow \] означает равносильность.)

Возникает естественный вопрос: что можно сказать про другие наборы кванторов? Например, какие свойства представимы в виде

\[ A(x) \Leftrightarrow \exists\ y\ \exists\ z\ C(x,y,z), \]

где C разрешимое свойство троек натуральных чисел? Легко сообразить, что это по-прежнему перечислимые множества. В самом деле, два подряд идущих квантора одного вида можно заменить одним, использовав вычислимую нумерацию пар (которую мы обозначаем квадратными скобками): свойство C', для которого \[ C'(x,[y,z]) \Leftrightarrow C(x,y,z) \] , также разрешимо, и \[ A(x) \Leftrightarrow \exists\ w\ C'(x,w) \] .

Другой вопрос: какие свойства представимы в виде

\[ A(x) \Leftrightarrow \forall\ y\ B(x,y), \]

где B(x,y) некоторое разрешимое свойство? Ответ: те, отрицания которых перечислимы (как иногда говорят, коперечислимые ). В самом деле, переходя к отрицаниям, имеем

\[ \neg A(x) \Leftrightarrow \neg\ \forall\ y\ B(x,y) \Leftrightarrow \exists\ y (\neg\ B(x,y)), \]

а разрешимые свойства остаются разрешимыми при переходе к отрицаниям.

Дадим общее определение. Свойство A принадлежит классу \[ \Sigma _{n} \] , если его можно представить в виде

\[ A(x) \Leftrightarrow \exists y_{1}\ \forall y_{2}\ \exists y_{3} \dots B(x,y_{1},y_{2}, \dots ,y_{n}) \]

(в правой части стоит n чередующихся кванторов) для некоторого разрешимого свойства B. Если в правой части поставить n чередующихся кванторов, начиная с квантора всеобщности \[ \forall, \] то получится определение класса \[ \Pi _{n} \] .

Отметим два свойства, которые мы по существу уже доказали:

Теорема 51. (а) Определение класса \[ \Sigma _{n} \] [ \[ \Pi _{n} \] ] не изменится, если в правой части разрешить большее число кванторов и требовать, чтобы первый квантор был квантором существования [всеобщности] и число групп одинаковых стоящих рядом кванторов равнялось n. (б) Отрицания свойств из класса \[ \Sigma _{n} \] принадлежат классу \[ \Pi _{n} \] и наоборот.

Для доказательства первого утверждения достаточно соединять рядом стоящие одинаковые кванторы с помощью нумерации пар. Для доказательства второго надо проносить отрицание внутрь (меняя тип квантора), пока оно не окажется у разрешимого свойства (где оно роли не играет).

Мы говорили о свойствах; на языке множеств можно сказать так: множества класса \[ \Sigma _{n} \] получаются из разрешимых с помощью последовательности операций " проекция-дополнение-проекция-дополнение-...-проекция", в которой всего n операций проекции. Каждая операция проекции уменьшает размерность множества (число аргументов у свойства) на единицу, так что начинать надо с разрешимых подмножеств Nⁿ⁺¹.

Теорема 52. Пересечение и объединение двух множеств из класса \[ \Sigma _{n} \] принадлежит \[ \Sigma _{n} \] . Пересечение и объединение двух множеств из класса \[ \Pi _{n} \] принадлежит \[ \Pi _{n} \] .

Удобно выразить это утверждение на логическом языке, сказав, что конъюнкция и дизъюнкция любых двух свойств из класса \[ \Sigma _{n} \] лежат в том же классе (аналогично для \[ \Pi _{n} \] ). На этом же языке удобно провести и доказательство: если, скажем,

\[ A(x) \Leftrightarrow \exists\ y\ \forall\ z\ B(x,y,z), \\ C(x) \Leftrightarrow \exists\ u \forall\ v\ D(x,u,v), \\ то \\ A(x) \wedge C(x) \Leftrightarrow \exists\ y \exists\ u \forall\ z \forall\ v\ [B(x,y,z) \wedge D(x,u,v)], \]

записанное в квадратных скобках свойство разрешимо и остается только соединить пары кванторов в один, как объяснялось выше. Аналогично можно действовать для классов \[ \Sigma _{n} \] и \[ \Pi _{n} \] при произвольном n.

Мы определяли классы \[ \Sigma _{n} \] и \[ \Pi _{n} \] для множеств натуральных чисел; аналогичным образом это можно сделать и для множеств пар натуральных чисел, троек и вообще любых " конструктивных объектов". Заметим, что проекция множества пар, принадлежащего классу \[ \Sigma _{n} \] , также принадлежит \[ \Sigma _{n} \] (поскольку два квантора существования в начале можно объединить в один).

Добавляя фиктивные кванторы, легко убедиться, что каждый из двух классов \[ \Sigma _{n} \] и \[ \Pi _{n} \] содержится в каждом из классов \[ \Sigma _{n+1} \] и \[ \Pi _{n+1} \] . Можно написать еще так:

\[ \Sigma _{n} \cup \Pi _{n} \subset \Sigma _{n+1} \cap \Pi _{n+1}. \]

Теорема 53. Классы \[ \Sigma _{n} \] и \[ \Pi _{n} \] " наследственны вниз" относительно m -сводимости: если A <=_m B и \[ B \in \Sigma _{n} \] [ \[ B \in \Pi _{n} \] ], то и \[ A \in \Sigma _{n} \] [ \[ A \in \Pi _{n} \] ].

В самом деле, пусть A сводится к B с помощью всюду определенной вычислимой функции f, то есть \[ x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B \] . Пусть B принадлежит, например, классу \[ \Sigma _{3} \] , то есть

\[ x \in B \Leftrightarrow \exists\ y\ \forall\ z\ \exists\ u\ R(x,y,z,u), \]

где R некоторое разрешимое свойство. Тогда

\[ x \in A \Leftrightarrow f(x) \in B \Leftrightarrow \exists\ y\ \forall\ z\ \exists\ u\ R(f(x),y,z,u), \]

и осталось заметить, что R(f(x),y,z,u) (как свойство четверки \[ \langle x,y,z,u\rangle \] ) разрешимо.

  63. Докажите, что если множество A принадлежит классу \[ \Sigma _{n} \] , то множество A x A также принадлежит этому классу.

  64. Докажите, что если множества A и B принадлежат классу \[ \Sigma _{n} \] , то их разность A \ B принадлежит классу \[ \Sigma _{n+1} \cap \Pi _{n+1} \] .