m-сводимость и свойства перечислимых множеств

m-сводимость

Мы уже встречались с таким приемом: чтобы доказать неразрешимость некоторого множества X (например, множества всех номеров всех где-то определенных функции), мы показывали, что если бы оно было разрешимо, то и любое перечислимое множество K было разрешимо. Для этого мы строили вычислимую функцию f так, чтобы принадлежность любого числа n множеству K определялась принадлежностью числа f(n) множеству X.

Сейчас мы изучим такие ситуации более подробно.

Говорят, что множество A натуральных чисел m - сводится к другому множеству B натуральных чисел, если существует всюду определенная вычислимая функция f : N -> N с таким свойством:

для всех . Такая функция называется m -сводящей A к B. Обозначение: A <=_m B.

Теорема 31.(а) Если A <=_m B и B разрешимо, то A разрешимо.(б) Если A <=_m B и B перечислимо, то A перечислимо. (в) A <=_m A ; если A <=_m B и B <=_m C, то A <=_m C. (г) Если A <=_m B, то N \ A <=_m N \ B.

Все эти свойства почти очевидны. Пусть A <=_m B и мы имеем разрешающий алгоритм для B. Чтобы узнать, принадлежит ли данное x множеству A, мы вычисляем f(x) и узнаем, принадлежит ли f(x) множеству B. Другими словами, a(x)=b(f(x)), если a характеристическая функция множества A, а b характеристическая функция множества B ; поэтому если b вычислима, то и a вычислима как композиция вычислимых функций.

Такое же равенство можно записать для " полухарактеристических " функций, поэтому из перечислимости B следует перечислимость A. Можно сказать и иначе: множество A является прообразом перечислимого множества B при вычислимом отображении f, и потому перечислимо.

Тождественная функция, очевидно, m -сводит A к A. Если функция f сводит A к B, а функция g сводит B к C, то

так что композиция функций g и f сводит A к C.

Наконец, функция, сводящая A к B, будет сводить и N \ A к N \ B.

Буква " m " в названии исторически происходит из термина "many-one-reducibility"; впрочем, как отмечает M.Сипсер в своем учебнике по теории сложности вычислений, вместо этого лучше говорить " mapping reducibility " (сводимость с помощью отображений), сохраняя букву m в обозначении.

Отметим, что это определение не симметрично относительно перехода к дополнению, если это делается только в одном из множеств: вовсе не обязательно A <=_m N \ A, хотя всегда A <=_m A.

  44.Покажите, что A N \ A для перечислимого неразрешимого множества A.

Отметим, что множества и N являются особыми случаями для m -сводимости. Например, любое разрешимое множество A сводится к любому множеству B, если только B не является пустым и не совпадает с N. В самом деле, если , и A разрешимо, то сводящую функцию можно построить так:

Если же B пусто или совпадает с N, то только пустое множество (соответственно N ) сводится к B.

  45. Существует ли множество натуральных чисел, к которому m -сводится любое множество натуральных чисел?

m-полные множества

Теорема 32. Среди перечислимых множеств существуют наибольшие с точки зрения m -сводимости, то есть множества, к которым m -сводится любое перечислимое множество.

Таковым является универсальное множество (формально надо перейти от пар к их номерам). Пусть перечислимое множество пар натуральных чисел, универсальное для класса перечислимых множеств натуральных чисел. Рассмотрим множество V номеров всех пар, входящих в U (для какой-то вычислимой нумерации пар ). Другими словами,

Пусть T произвольное перечислимое множество. Тогда T=U_n при некотором n и потому

Таким образом, функция сводит T к V.

Наибольшие относительно m -сводимости перечислимые множества называют m - полными (точнее, m - полными в классе перечислимых множеств ).

Заметим, что если K <=_m A для перечислимых множеств K и A и при этом K является m -полным, то и A является m -полным (в силу транзитивности).

Если универсальное множество является главным, то его диагональ также m -полна:

Теорема 33. Пусть главное универсальное множество для класса перечислимых множеств. Тогда его " диагональное сечение" является m -полным.

(В частности, множество всех самоприменимых программ является m -полным.)

Очевидно, D перечислимо. Пусть K произвольное перечислимое множество. Рассмотрим перечислимое множество пар V = K x N. Его сечения V_n будут либо пусты (при ), либо совпадать со всем N (при ).

Поскольку множество U является главным, существует всюду определенная функция s, для которой V_n=U_s(n). Другими словами, U_s(n) совпадает с N при и пусто при . Следовательно, (и потому ) при и (и потому ) при . Таким образом, s сводит K к D.

  46. Докажите, что множество всех программ, останавливающихся на входе 0, является m -полным. Докажите, что множество всех программ, останавливающихся хотя бы на одном входе, является m -полным.

  47. Пусть M m -полное перечислимое множество. Покажите, что существует алгоритм, который по номеру любой всюду определенной функции h указывает такое число n, что . (Указание: это утверждение составляет содержание теоремы о неподвижной точке для некоторого отношения эквивалентности.)