НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 16: Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1419 / 127 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Из (15.10) и определения W выводим неравенство

$(v^\circ - v^\ast)(u - u^\circ) + (u^\circ - u^\ast)(v - v^\circ)\le 0,$

которое после использования обратного (15.15) отображения

$u = (u^\circ - u^\ast)\tilde{u} + u^\ast,\qquad v = (v^\circ - v^\ast)\tilde{v} + v^\ast$

( 15.16)

дает определение

$T = \{(\tilde{u},\tilde{v}) \colon \tilde{u} + \tilde{v} \le 2\}.$

( 15.17)

При этом, согласно (15.15), $\tilde{u}^\ast = 0$ , $\tilde{v}^\ast = 0$ .

Таким образом, линейное преобразование (15.15) переводит задачу (W,u^*,v^*) в задачу (T,0,0), удовлетворяющую условиям аксиомы симметрии. Простота этой задачи позволяет найти отвечающую ей сделку, руководствуясь непосредственно аксиомами Нэша. Требования рациональности, допустимости, не улучшаемости и вытекающее из шестой аксиомы условие $\tilde{u}^\circ = \tilde{v}^\circ$ удовлетворяются в единственной точке

$(\tilde{u}^\circ, \tilde{v}^\circ) = (1,1) \in T,$

( 15.18)

лежащей на границе множества T (см. рис. 3.5).

Рис. 3.5.

Отображая точку (15.18) на плоскость (u,v) в соответствии с преобразованием (15.16) и принимая во внимание пятую аксиому, получаем, что пара $(u^\circ, v^\circ)$ есть единственная отвечающая аксиомам сделка в задаче (W,u^*,v^*). Наконец, учитывая включения $(u^\circ, v^\circ)\in S \subset W$ и четвертую аксиому, выводим, что пара $(u^\circ, v^\circ)$ есть единственная удовлетворяющая аксиомам сделка в исходной задаче (S,u^*,v^*). Таким образом, единственная удовлетворяющая аксиомам сделка совпадает с точкой из определения (15.5).

Завершение доказательства теоремы. Остается рассмотреть случаи, когда не выполняются предположения (15.2). При этом возможны следующие три ситуации:

$(\exists (u,v) \in S)\ u > u^\ast,\ v = v^\ast,$

( 15.19)

$(\exists (u,v) \in S)\ u = u^\ast,\ v > v^\ast,$

( 15.20)

$(\forall (u,v) \in S)\ u \le u^\ast,\ v \le v^\ast.$

( 15.21)

Заметим, что ситуации (15.19) и (15.20) не могут иметь место одновременно. Допущение такой возможности ведет (в силу выпуклости множества S ) к выполнимости условий (15.2) для всех внутренних точек отрезка, соединяющего две произвольные точки из (15.19) и (15.20).

Рассмотрим случай (15.19) (случай (15.20) рассматривается аналогично). Решение для таких задач определяется оператором $\varphi$ вида

$u^\circ = \max\{u \colon (u,v) \in S_0, v = v^\ast\},\ v^\circ = v^\ast.$

( 15.22)

Рис. 3.6 иллюстрирует такой случай, заведомо не удовлетворяющий условиям симметрии из шестой аксиомы.

Решение (15.22) допустимо, рационально и неулучшаемо (для обеих сторон). Заметим также, что оно является единственным решением, удовлетворяющим первым трем аксиомам. Кроме того, правило (15.22) определяет пару $(u^\circ, v^\circ)$ как решение задачи $(T, u^\circ, v^\circ)$ , если $(u^\circ, v^\circ) \in T \subset S$ . Т.е. четвертая аксиома также выполняется.

Любые преобразования вида (14.20) переводят горизонтальный участок границы множества S, лежащий на прямой u=v^*, в горизонтальный участок границы множества T, лежащий на прямой $\tilde{v} = \beta v^\ast + b$ . Следовательно, правило (15.22) даст для задачи $(T, \tilde{u}^\ast, \tilde{v}^\ast)$ дележ $(\tilde{u}^\ast, \tilde{v}^\ast)$ , согласующийся с пятой аксиомой.

В случае (15.21), когда кооперация не может улучшить выигрыши сторон, положим $(u^\circ, v^\circ) = (u^\ast, v^\ast)$ . Соответствие такого решения аксиомам Нэша легко проверяемо.

Рис. 3.6.

Вернемся к рассмотренным выше примерам. Дележ $(u^\circ{,} v^\circ){=} (10{,}14)$ , изображенный темным кружком в верхней части рис. 3.3, получен с помощью графического построения. Построение выполнено в соответствии с ранее описанным приемом. Этот дележ реализуется путем согласованного использования обеими сторонами пары чистых стратегий i=2, j=2 (см. табл. 3.1).

Допустимое множество для рассмотренной в "Нормальная форма конечной игры. Задание конечной игры в позиционной форме" задачи об ограничениях при ловле рыбы, представлено на рис. 3.7. Согласно (14.7)-(14.14), для содержащих седловые значения матриц этой задачи справедливы оценки:

$(u^\ast, v^\ast) = (u^\ast, v') = (u', v^\ast) = (\mu_1(p^\ast),\mu_2(p^\ast)) = (6,6).$

Имеющее место совпадение всех указанных точек отражает то обстоятельство, что пара выигрышей (u^*,v^*) соответствует единственному в этой задаче устойчивому решению, реализуемому в чистых стратегиях при независимом поведении сторон.

Решение $(u^\circ, v^\circ) = (10,10)$ , оцененное графическим способом (см. рис. 3.7), существенно превосходит выигрыши, достижимые односторонними действиями участников. Таким образом, введение (по взаимному согласию сторон) системы контроля за соблюдением соглашения (например, путем организации проверок в местах лова рыбы) могло бы повысить их доходы (и дать средства для содержания инспекторов).

Рис. 3.7.

Допустимое множество для задачи о строительстве с долевым участием (см. "Стратегическое равновесие в 2 x 2 играх" ) уже рассматривал ось (см. рис. 3.2). Этому примеру соответствуют оценки

$\begin{gathered} x^\ast = y' = \left(\frac{1}{3}, \frac{2}{3}\right),\quad y^\ast = x' = \left(\frac{2}{3}, \frac{1}{3}\right),\\ (u^\ast, v^\ast) = (\mu_1(p^\ast), \mu_2(p^\ast)) = (\frac{2}{3}, \frac{2}{3}). \end{gathered}$

Заметим, что указанная выше пара смешанных стратегий x^* и y^* не является равновесным решением задачи при независимом поведении сторон (см. табл. 2.9). Поэтому пары (u^*,v^*) и

$(u^\ast, v') = \left(\frac{2}{3},1\right),\quad (u', v^\ast) = \left(1,\frac{2}{3}\right)$

являются различными (см. рис. 3.8). Сделка, отвечающая аксиомам Нэша, соответствует точке $(u^\circ, v^\circ) = (3/2,3/2)$ , реализуемой уже обсуждавшейся рулеткой (14.5).

Рис. 3.8.

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Дележ, отвечающий аксиомам Нэша

Вопросы и ответы