Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского
Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1395 / 113 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00
ISBN: 978-5-9556-0072-7
Специальности: Математик
Лекция 13:

Матричные игры и линейные программы как модели поведения

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >

Сведение решения матричной игры к решению пары двойственных задач линейного программирования

Подставляя (12.5) в (12.8) и учитывая (12.9), устанавливаем справедливость следующих неравенств:

(\forall w \ge 0_n) (\forall u \ge 0_m)\quad (c^T, w) - u^{\ast T}A w \le 0
\le (b^T, u) - u^T Aw^\ast. ( 12.10)

Приняв, что цены на продукцию всех типов и запасы сырья всех видов являются единичными, т.е.

c_j = 1,\ 1 \le j \le n,\qquad b_i=1,\ 1 \le i \le m, ( 12.11)
приводим (12.10) к виду:
(w_1 + \ldots w_n) - u^{\ast T} Aw \le 0 \le (u_1 + \ldots u_m) - u^T A
w^\ast. ( 12.12)
Введя нормированные переменные
\begin{gathered}
x_i = u_i / (u_1 + \ldots u_m),\quad 1 \le i \le m,\\
y_j = w_j / (w_1 + \ldots w_m),\quad 1 \le j \le n,
\end{gathered} ( 12.13)
и составленные из них векторы-столбцы
x = (x_1 \dots x_m)^T,\qquad y = (y_1\dots y_n)^T,
перепишем (12.12) как
1 - u^{\ast T} Ay \le 0 \le 1 - x^T A w^\ast,
или
x^T A w^\ast \le 1 \le u^{\ast T} A y. ( 12.14)
При этом предполагается, что суммы из знаменателей правых частей равенств в (12.13) являются положительными. Это допущение не противоречит условиям w \ge 0_n, u \ge 0_m из (12.10). Таким образом,
\begin{gathered}
x_i \ge 0,\ 1 \le i \le m,\qquad x_1 + \ldots + x_m = 1,\\
y_j \ge 0,\ 1 \le j \le n,\qquad y_1 + \ldots + y_n = 1,
\end{gathered}
или (11.15))
x \in S_m,\quad y \in S_n. ( 12.15)

Предположим, что общее значение минимакса и максимина ядра, указанное в (12.9), является положительным. Обозначим обратное ему число через v, т.е.

\begin{gathered}
(c^T, w^\ast) = w_1^\ast + \ldots + w_n^\ast = v^{-1} > 0,\\
(b^T, u^\ast) = u_1^\ast + \ldots + u_n^\ast = v^{-1} > 0.
\end{gathered} ( 12.16)
Заметим, что эти записи учитывают также условия (12.11). Теперь из (12.13) и (12.16) следует, что
\begin{gathered}
x_i^\ast = u_i^\ast / (u_1^\ast + \ldots + u_m^\ast) = v u_i^\ast,\qquad 1 \le i \le m,\\
y_j^\ast = w_j^\ast / (w_1^\ast + \ldots + w_m^\ast) = v w_j^\ast,\qquad 1 \le j \le n.
\end{gathered} ( 12.17)

Умножая (12.14) на положительное число v, используя обозначения (12.17) и учитывая (12.15), выводим справедливость отношений

(\forall x \in S_m)(\forall y \in S_n) \quad x^T Ay^\ast\le v\le x^{\ast T}Ay, ( 12.18)
v = x^{\ast T} A y^\ast. ( 12.19)

Из (11.19) и (12.18), (12.19) следует, что пара (x*,y*) является равновесной (по Нэшу) в смешанном расширении конечной антагонистической игры с матрицей A. При этом введенное выше положительное число v оказывается ценой этой игры в смешанных стратегиях.

Рассмотрим произвольную m\times n матрицу A с коэффициентами aij, 1\le i\le m, 1\le j \le n, и сопоставим ей вспомогательную m\times n матрицу C с положительными коэффициентами

c_{ij} = a_{ij} + a > 0,\quad 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n, ( 12.20)
a > |\min\{a_{ij}\colon 1 \le i \le m,\ 1 \le j \le n\}| \ge 0.\notag
Линейная программа вида (12.1) при единичных коэффициентах из (12.11) заведомо имеет решение. Действительно, условия Cw\le b, имеющие вид
c_{i1} w_1 + \ldots + c_{in} w_n \le 1,\ 1 \le i \le m,\qquad 
w_j \ge 0,\ 1 \le j \le n, ( 12.21)
определяют непустую область в Rn, поскольку вектор w=0n удовлетворяет этим условиям. В указанной области линейная форма (cT,w) оказывается ограниченной сверху, ибо, согласно (12.21),
w_1 + \ldots + w_n \le 1/c_{i1} + \ldots 1/c_{in},\ 1 \le i \le m.
Таким образом, для линейной программы с матрицей C неравенства вида (12.8) и вытекающие из них отношения
\begin{gathered}
(\forall x \in S_m) (\forall y \in S_n) \quad x^T C y^\ast \le v_c \le x^{\ast T}Cy,\\
v_c = x^{\ast T} C y^\ast,
\end{gathered}
аналогичные утверждениям (12.18), (12.19), являются справедливыми при любой заданной матрице A.

Лемма 2.2. Антагонистическая игра с ядром (11.18), соответствующим произвольной m\times n матрице A и связанная с ней антагонистическая игра с ядром

M_c (x,y) = x^T Cy, ( 12.22)
соответствующим вспомогательной матрице C из (10.20), имеют одно и то же множество ситуаций равновесия. При этом
v_c = v + a,
где vc есть цена смешанного расширения игры с матрицей C, а v - цена смешанного расширения игры с матрицей A.

Доказательство. Как следует из (11.15), (11.18) и (12.20), (12.22)

M_c (x,y) = \sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n (a_{ij} + a) x_i y_j =
\sum_{i=1}^m \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i y_j + a = M(x,y) + a,
где M(x,y) есть ядро смешанного расширения антагонистической игры с матрицей A. При этом
M(x,y) = M_c(x,y) - a. ( 12.23)
Следовательно, справедливость отношений
(\forall x \in S_m) (\forall y \in S_n)\ M_c (x,y^\ast) \le M_c (x^\ast,
y^\ast) \le M_c (x^\ast, y) ( 12.24)
для игры с матрицей C влечет справедливость аналогичных отношений (11.19) для игры с матрицей A, ибо последние выводятся из (12.24) путем вычитания числа a из всех частей содержащихся в (12.24) неравенств. Доказательство леммы завершается выводом равенства
v_c = M_c(x^\ast, y^\ast) = M (x^\ast, y^\ast) + a = v + a, ( 12.25)
вытекающего из (12.23).

Итак, мы установили, что при любой m\times n матрице A смешанное расширение антагонистической игры с вспомогательной матрицей C из (12.20) всегда имеет равновесное решение (x*,y*), которое является равновесным решением также и для исходной антагонистической игры. Таким образом, мы установили справедливость следующей теоремы.

Теорема 2.3. Матричная игра с произвольной m\times n матрицей A всегда имеет ситуацию равновесия (по Нэшу) в смешанных стратегиях x^\ast \in S_m, y^\ast \in S_n, которые могут быть определены из решения (u*,w*) следующей пары двойственных задач линейного программирования

\begin{gathered}
u_1 + \ldots + u_m \to \min\\
u_1 \ge 0,\ldots, u_m \ge 0,\\
(a_{1j} \!+\! a) u_1 \!+\! \ldots \!+\! (a_{mj} \!+\! a)u_m \ge 1,\\
1 \le j \le n,
\end{gathered}\quad
\begin{gathered}
w_1 + \ldots + w_n \to \max\\
w_1 \ge 0\dots w_n \ge 0,\\
(a_{i1} \!+\! a)w_1 \!+\! \ldots \!+\! (a_{in} \!+\! a)w_n \le 1\\
1 \le i \le m,
\end{gathered}
где a из (12.20). При этом
\begin{gathered}
x^\ast = v u^\ast,\quad y^\ast = v w^\ast,\\
v = (u_1^\ast + \ldots + u_m^\ast)^{-1} = (w_1^\ast + \ldots
w_n^\ast)^{-1}.
\end{gathered}

Пример 2.7. Рассмотрим численный пример, которому соответствуют рассмотренные выше матрицы:

A = \begin{vmatrix}
2 & -3 & 4\\
-3 & 4 & -5\\
4 & -5 & 6
\end{vmatrix}\qquad
C = \begin{vmatrix}
7 & 2 & 9\\
2 & 9 & 0\\
9 & 0 & 11
\end{vmatrix}
Заметим, что вторая матрица соответствует значению a=5.

Первая из двух линейных программ, указанных в условиях теоремы, имеет вид:

\begin{gathered}
u_1 + u_2 + u_3 \to \min,\\
u_1 \ge 0,\ u_2 \ge 0,\ u_3 \ge 0,\\
7u_1 + 2 u_2 + 9 u_3 \ge 1,\\
2 u_1 + 9u_2 \ge 1,\\
9u_1 + 11 u_3 \ge 1,
\end{gathered}
и ей соответствует решение
u^\ast = \left(\frac{1}{20}, \frac{1}{10}, \frac{1}{20}\right)\!, \quad v_c = 5,
найденное симплекс- методом4См., например, учебное пособие: Сухарев А.Г., Тимохов А.В., Федоров В.В. Курс методов оптимизации. М.: Наука, 1986.. Следовательно,
x^\ast = \left(\frac{1}{4},\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right)\!, \quad v = v_c - a = 0.

< Лекция 12 || Лекция 13: 12 || Лекция 14 >
Михаил Агапитов
Михаил Агапитов

Не могу найти  требования по оформлению выпускной контрольной работы по курсу профессиональной переподготовки "Менеджмент предприятия"

Подобед Александр
Подобед Александр

Я нажал кнопку "начать курс" и почти его уже закончил, но для получения диплома на бумаге, нужно его же оплатить? Как оплатить?