НОУ ИНТУИТ | Исследование операций и модели экономического поведения. Лекция 6: Об устойчивости баланса спроса и предложения

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Нижегородский государственный университет им. Н.И.Лобачевского

Опубликован: 26.04.2007 | Доступ: свободный | Студентов: 1415 / 126 | Оценка: 3.69 / 3.54 | Длительность: 14:45:00

ISBN: 978-5-9556-0072-7

Тема: Математика

Специальности: Математик

|

Вам нравится? Нравится 24 студентам

| Поделиться |

Поддержать курс

| Скачать электронную книгу

Теорема 1.3. Пусть выполняются условия

$0<\lambda\le 1/2(1+\sqrt{5}),$

( 5.11)

$p_\text{eq}<p_{t-1}<p_{\max},$

( 5.12)

где $\lambda$ из (5.2). Тогда закупка спекулянтом в момент t партии товара объемом $\Delta$ из (5.6) с целью продажи этой партии в момент t+1 по цене p_t+1 обеспечивает выполнение условий (5.9), если значение коэффициента $\gamma>0$ лежит в интервале

$\Gamma_1<\gamma=\gamma(t)<\Gamma_2,$

( 5.13)

где

$\Gamma_1=\theta(\lambda-1)/\lambda,\quad \Gamma_2=\theta \lambda^2/(\lambda+1)^2,$

( 5.14)

$\theta=\theta(t)=1-D(p_{t-1})/S(p_{t-1}).$

( 5.15)

Доказательство 1. Для выполнения входящего в (5.9) неравенства p_t<p_eq, где, согласно (4.6) и (5.2),

$p_\text{eq}=(p_{\max}+\lambda c)/(1+\lambda),$

( 5.16)

необходимо и достаточно выполнения условия D(p_t)>D(p_eq). Последнее условие в сочетании с равенствами (4.5) и (5.7) ведет к соотношениям

$(1-\gamma)S(p_{t-1})=D(p_t)>D(p_\text{eq})=S(p_\text{eq}).$

Отсюда следует неравенство

$S(p_{t-1})-S(p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}),$

приводимое, с учетом (4.3), к виду

$B(p_{t-1}-p_\text{eq})>\gamma S(p_{t-1}).$

( 5.17)

Поскольку, согласно (4.1), (4.3), (5.15) и (5.16),

$\begin{aligned} &p_{t-1}-p_\text{eq}=[\lambda (p_{t-1}-c)+(p_{\max}-p_{t-1})]/(1+\lambda)=\\ &\qquad\qquad=[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/(A+B)=\theta S(p_{t-1})/(A+B),\\ \end{aligned}$

то требование (5.17) представимо в виде неравенства

$\gamma<\theta \lambda /(1+\lambda),$

( 5.18)

которое заведомо выполняется при $\gamma<\Gamma_2$ ; см. (5.13), (5.14). При этом, согласно (5.12) и (5.15),

$0<\theta<1,$

( 5.19)

поскольку D(p_t-1)<S(p_t-1) при p_eq<p_t-1.

2. Из (4.1) и (5.7) вытекает, что при p_t-1>p_eq

$\begin{aligned} &p_t=[Ap_{\max}-(1-\gamma)S(p_{t-1})]/A=\\ &=[D(p_{t-1})-S(p_{t-1})+\gamma S(p_{t-1})]/A+p_{t-1}=\\ &=\lambda (p_{t-1}-c)(\gamma-\theta)+p_{t-1}.\\ \end{aligned}$

( 5.20)

Отсюда следует, что для выполнения входящего в (5.9) неравенства p_t>p_min=c должно выполняться условие

$(p_{t-1}-c)(\lambda (\gamma-\theta)+1)>0.$

Это условие заведомо выполняется, если коэффициент $\gamma$ удовлетворяет левому неравенству из (5.13), поскольку p_t-1>c и, согласно (5.19), $\theta(\lambda-1)/\lambda>(\lambda\theta-1)/\lambda$ .

3.Условие p_t+1>p_eq, входящее в (5.9), равносильно отношению D(p_t+1)<S(p_eq), которое, учитывая (5.8), приводимо к виду:

$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})<S(p_\text{eq})$

или

$\gamma S(p_{t-1})<B(p_\text{eq}-p_t).$

( 5.21)

Из (4.2), (4.6) и (5.20) следует, что

$p_\text{eq}-p_t=B[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})-D(p_{t-1})]/A(A+B)-\gamma S(p_{t-1})/A.$

Подставляя правую часть этого равенства в (5.21), выводим, что p_t+1>p_eq, если

$\gamma (\lambda +1)^2S(p_{t-1})<\lambda^2[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})].$

Последнее условие эквивалентно требованию $\gamma<\Gamma_2$ .

4. Условие p_t+1<p_t-1, входящее в (5.9) и обеспечивающее "скрутку" паутины, равносильно неравенству D(p_t+1)>D(p_t-1), которое, согласно (5.8), можно записать в виде:

$S(p_t)+\gamma S(p_{t-1})>D(p_{t-1}).$

( 5.22)

Из (4.2), (5.2) и (5.20) выводим, что

$\begin{aligned} &S(p_t)=\lambda Ap_{\max}-\lambda (1-\gamma)S(p_{t-1})-Bc=\\ &=\lambda D(p_{t-1})+\lambda \gamma S(p_{t-1})+(1-\lambda)S(p_{t-1}).\\ \end{aligned}$

Подставляя правую часть полученного выражения в (5.22), выводим неравенство

$(\lambda-1)[S(p_{t-1})-D(p_{t-1})]<\gamma (\lambda+1)S(p_{t-1}),$

для справедливости которого достаточно выполнения условия

$\gamma>\theta(\lambda -1)/(\lambda+1).$

Последнее условие заведомо выполняется при $\gamma>\Gamma_1$ , где $\Gamma_1$ из (5.14). В заключение отметим, что интервал (5.13) не пуст (т.е. $\Gamma_1<\Gamma_2$ при значениях $\lambda$ из диапазона (5.11).

Дальше >>

Авторизоваться

Исследование операций и модели экономического поведения

Об устойчивости баланса спроса и предложения

Вопросы и ответы