НОУ ИНТУИТ | Квантовые вычисления. Лекция 18: Квантовое преобразование Фурье

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 03.06.2019 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Ключевые слова: RAND, операции, бит, значение, матрица, вектор, представление, коэффициенты

При обсуждении квантовой реализации классических вычислений, мы ввели несколько стандартных трансформаций, действующих на пространстве кубитов. Эти квантовые элементы RAND, RОR, NОТ и СNОТ представляют трансформации специального вида - все они просто переставляют базисные вектора. Чтобы добиться полной мощности квантового компьютера, необходимо сделать следующий шаг и ввести более общие операции в пространстве 1- и 2-кубита.

Первая трансформация, которую мы введем, называется трансформацией Адамара. Она действует в пространстве 1-кубита и определена следующим образом:

$H|0\rangle = \frac{1}{\sqrt2}|0\rangle+\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle,\\ H|1\rangle=\frac{1}{\sqrt2}|0\rangle-\frac{1}{\sqrt2}|1\rangle$

Второе стандартное семейство квантовых элементов - это трансформации поворотов $R_{\alpha}$ в пространстве 1 -кубита:

$R_{\alpha}|0\rangle=\cos \alpha |0\rangle - \sin \alpha |1\rangle,\\ R_{\alpha}|0\rangle = \sin \alpha |0\rangle+\cos \alpha |1\rangle$

Трансформация Адамара и семейство поворотов образуют ортогональную группу О(2) - каждая ортогональная трансформация в пространстве 1 -кубита является либо поворотом, либо произведением поворота и трансформации Адамара.

Последней стандартной квантовой трансформацией является семейство управляемых поворотов $СК_{\аlpha}$ . Это семейство действует в пространстве 2-кубита и определено следующим образом:

$CR_{\alpha}|xy\rangle=\begin{cases} |xy\rangle&\text{если} х=0,\\ |x\rangle R_{\alpha}|y\rangle \text{если} x=1 \end{cases}$

Поворот применяется ко второму квантовому биту, но это поворот, управляемый значением первого квантового бита. Если первый бит имеет значение 1, поворот применяется, если 0- не применяется.

В стандартном базисе 2-кубит пространства $\{ |00 \rangle , |01 \rangle , |10 \rangle , |11 \rangle \}$ матрица этой трансформации имеет вид:

$CR_{\alpha}= \begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0 \\0&0&\cos \alpha& \sin \alpha \\ 0&0&-\sin \alpha& \cos \alpha\end{pmatrix}$

Перейдем к определению квантового преобразования Фурье (КПФ).

В классическом ДПФ входом является вектор измерений $(F_0,F_1,\dots,f_{n-1})$ , выходом - вектор коэффициентов Фурье $(a_0,a_1,\dots,a_{n/2-1}, b_0, b_1,\dots b_{M/2-1})$ . КПФ делает аналогичную вещь, - только входом и выходом являются п-кубиты:

$\sum_{k=0}^{2^n-1}f_k|k_{n-1}\dotsk_1k_0 \rangle \to \sum_{p=0}^{2^{n-1}-1}a_p|p_0p_1\dotsp_{n-2} \rangle|0 \rangle+\sum_{p=0}^{2^{n-1}-1}b_p|p_0p_1\dotsp_{n-2} \rangle|1 \rangle$

Здесь $k_{n_1}\dots k_1k_0$ - бинарное представление целого k. Справа от стрелки удобнее писать биты р в обратном порядке: $р = р_{n_2}2^{n-2} + \dots + 2р_1 + р_0$ , представленных как $|р_0р_1 \dots p_{n-2} \rangle$ . Так как а_р коэффициенты пишутся первыми в последовательности преобразования Фурье, то значение ведущего бита для них равно 0, а для коэффициентов b_p -1 .

Цель этой главы представить реализацию КПФ, используя стандартные 1-кубит и 2-кубит операции.

Эта реализация построена на идеях БПФ. Также как БПФ, КПФ является рекурсивным алгоритмом. Это означает, что мы будем использовать КПФ для (n - 1)-кубита при построении КПФ для n-кубитов.

Перечислим вначале 6 шагов реализации КПФ, а затем обсудим каждый шаг в деталях. Замечательное свойство КПФ в том, что оно не требует никакой дополнительной памяти.

Квантовое преобразование Фурье:

Шаг 1. Применить КПФ к первым n - 1 битам входа из n кубитов.

Шаг 2. Применить трансформацию Адамара к последнему биту входа.

Шаг З. Применить СNOТ к последнему биту, управляемую предпоследним битом.

Шаг 4. Применить к предпоследнему биту последовательность поворотов, управляемых предыдущими битами.

Шаг 5. Применить СNОТ к предпоследнему биту, управляемую последним битом.

Шаг 6. Применить СNOТ к первым n - 2 битам, управляемую предпоследним битом.

Начнем со входа, заданного п-кубитом:

$\sum_{k=0}^{2^n-1}f_k|k_{n-1}\dots k_1k_0 \rangle$

Далее, следуя идеям БПФ, расщепим последовательность f на две последовательности g и h, соответствующие для g четным значениям k, для h -нечетным. После этих изменений в нотации наш входной кубит записывается так:

$\sum_{s=0}^{2^{n-1}-1}g_s|s_{n-2}\dots s_0 \rangle|0 \rangle+h_s|s_{n-2} \dots s_0 \rangle|1 \rangle$

Выполним Шаг 1 нашей процедуры, применяя КПФ к левым n -1 битам. Результат этой операции таков:

$\sum_{s=0}^{2^{n-1}-1}a_p^g|p_0\dots p_{n-3} \rangle|00 \rangle+b_p^g|p_0 \dots p_{n-3} \rangle|10 \rangle+a_p^h|p_0\dotsp_{n-3} \rangle|01 \rangle+b_p^h|p_0\dotsp_{n-3} \rangle|11 \rangle$

Дальше >>

Квантовые вычисления

Квантовые вычисления

Квантовое преобразование Фурье

Квантовое преобразование Фурье:

Вопросы и ответы

Студенты

Авторизоваться

Квантовые вычисления

Квантовые вычисления

Квантовое преобразование Фурье

Квантовое преобразование Фурье:

Вопросы и ответы

Студенты