НОУ ИНТУИТ | Квантовые вычисления. Лекция 20: За рамками этого курса

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 03.06.2019 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 14 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Комплексные числа. Общепринятый способ описания квантового состояния использует комплексные, а не вещественные числа. Дадим здесь краткое введение в комплексные числа. Начальной точкой является введение мнимого числа i, которое представляет корень квадратный из минус единицы, мы постулируем i^2 = -1 . Комплексное число записывается в форме а + bi, где а - вещественное число, представляющее вещественную часть комплексного числа, bi - мнимая часть с вещественным числом b. Приведем примеры сложения и умножения комплексных чисел:

$(2+5i)+(1-3i)= (2+1)+(5-3)i=3+2i,\\ (2+5i) * (1 - 3i) =2 * 1+2 * (-3i) + 1 * 5i+5 * (-3) * i^2 =2-6i+5i-15 * (-1)= 17-i.$

Новой операцией над комплексными числами является операция сопряжения, которая меняет знак мнимой части. Операция обычно записывается как надчеркивание комплексного числа:

$\overline{2+5i} =2-5i.$

Сопряжение имеет следующие свойства, справедливые для любой пары комплексных чисел z и w:

$\overline{z+w}=\bar z+\bar w,\;\; \overline{z*w}=\bar z*\bar w,$

У комплексного числа есть аналог абсолютного значения, называемый нормой (модулем):

$|а + bi| =\sqrt{ а^2 + b^2}.$

Норма ненулевого комплексного числа - положительное вещественное число. Существует легко проверяемая связь между комплексно сопряженным числом и нормой:

$z *\bar z = |z|^2 .$

Это отношение позволяет определить операцию деления для комплексных чисел:

$\frac1z=\frac{\bar z}{{z}^2}$

Приведем пример:

$\frac{2+5i}{1+3i}=\frac{(2+5i)\overline{(1+3i)}}{|1+3i|^2}=\frac{(2+5i)(1-3i)}{|1+3i|^2}=\frac{17-i}{1^2+3^2}=\frac{17}{10}-\frac{1}{10}i$

Эрмитово векторное пространство состоит из векторов, чьи компоненты являются комплексными числами. Скалярное произведение в Эрмитовом пространстве определяется следующим образом:

$\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\z_n \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}w_1\\w_2 \\ \dots \\w_n \end{pmatrix}=\bar z_1w_1+\bar z_2w_2=\dots + \bar z_nw_n$

При таком определении скалярное произведение ненулевого комплексного вектора с самим собой является положительным веществеиным числом:

$u*u = |z_1|^2+|z_2|^2+\dots+|z_n|^2$

для

$u=\begin{pmatrix}z_1\\z_2 \\ \dots \\ z_n \end{pmatrix}$

Это позволяет определить длину комплексного вектора как $|u| =\sqrt{u*u}$ Кубит является комплексным вектором:

$(а + bi) |0\rangle + (с + di) |1\rangle.$

Если при рассмотрении фотона учитывать его поляризацию при поворотах одновременно с линейной поляризацией, то его квантовое состояние моделируется комплексным 1-кубитом.

В общем случае, n-кубит выражается как:

$\sum_{k=0}^{2^n-1}z_k|k\rangle$

с условием, что длина такого вектора равна 1:

$\sum_{k=0}^{2^n-1}|z_k|^2=1$

Когда мы выполняем измерение такого n-кубита, вероятность наблюдения значения k равна |z_k|^2 , которая является неотрицательным вещественным числом.

При обсуждении эволюции квантовых состояний в комплексных числах вещественные ортогональные матрицы заменяются матрицами комплексных чисел, удовлетворяющих условию $А^{-1} = \bar А^$ Т. Здесь сопряженная матрица состоит из сопряженных элементов. Комплексная матрица, удовлетворяющая этому условию называется унитарной матрицей.

Многие функция могут быть расширены и определены для комплексных чисел. В частности, важным примером является комплексная экспоненциальная функция. Экспонента комплексного числа определена следующей формулой Эйлера:

$e^{a+bi}=e^a(\cos(b)+i\sin(b))$

Комплексная версия дискретного преобразования Фурье основана на комплексной экспоненте. Оказывается, что с комплексной версией ДПФ проще работать, чем с ДПФ для вещественных чисел. Коэффициенты Фурье комплексной последовательности $(f_0, f_1,\dots , f_{N-1})$ вычисляются следующим образом: