Россия, Сургут, Сургутский Государственный Университет, 2017 |
Квантовое преобразование Фурье
На Шаге 2 применим трансформацию Адамара:
к последнему биту. В результате получим:
На Шаге 3 выполняется операция СNОТ на последнем бите, управляемая предпоследним битом:, что дает:
Шаг 4 более изощренный. Мы выполняем последовательность поворотов предпоследнего бита:
Первый поворот на угол . Затем для каждого из первых n - 2 битов выполняем поворот предпоследнего бита на угол управляемое битом . Поворот выполняется только тогда, когда равно 1, в противном случае ничего не делается. В качестве альтернативы управляемый поворот можно интерпретировать как поворот предпоследнего бита на угол .
Комбинируя эти повороты вместе, получаем поворот на угол
Далее в записи введем сокращение, заменяя на . Результатом работы Шага 4 является:
На шаге 5 применяется СNОТ к предпоследнему биту, управляемое последним битом:
что дает:
Наш завершающий шаг состоит из применения управляемого отрицания СNОТ к каждому из первых n - 2 битов, все управляемые предпоследним битом. При записи финального результата разделяем его на две части. Тогда, когда предпоследний бит равен нулю, сохраняем р как суммируемую переменную. Когда же предпоследний бит равен единице, заменяем р новой переменной r. Биты r берутся с отрицанием, результат отрицания будем обозначать как . В результате получаем следующее выражение:
Вспоминая формулы БПФ, мы обнаруживаем, что первые два коэффициента-это и для , в то время как последние два коэффициента - это и для , . Предыдущее выражение упрощается и имеет вид:
Когда , , то оно записывается как целое из n - 1 бит в бинарной форме, ведущий бит р равен 1, а остальные n - 2 бита являются отрицанием битов , так что две части суммы можно скомбинировать, рассматривая р теперь как целое из n - 1 битов,
Мы видим, что в результате последовательности шагов 1-б в точности получено квантовое преобразование Фурье входа из n-кубита.
Упражнение. Покажите, что сложность квантового преобразования Фурье для п-кубита (число используемых стандартных квантовых элементов) равна .
Мы видим, что КПФ имеет квадратичную сложность (как функция от числа битов), в то время как БПФ имеет экспоненциальную сложность.