Операции с финансовыми контрактами
8.1 Эквивалентность контрактов
Рассмотрим сначала ситуацию, когда изменяются только сроки платежей. При этом возникает законный вопрос, как должны измениться суммы платежей. В данной ситуации это выражается с помощью двух простых формул.
Если срок платежа суммы переносится на периодов вперед, то новая сумма платежа вычисляется по формуле:
если срок платежа сокращается на периодов, то новая сумма платежа вычисляется по формуле:
Последние две формулы можно объединить в одну, если заметить, что степень, в которую возводится множитель наращения 1+i, равна разности между новым и старым моментами платежа. Обозначим через t старый момент платежа, - новый момент платежа. Новая сумма платежа получается из старой s по формуле:
Рассмотрим пример, при решении которого применяется эта формула.
Пример 69. Предприниматель по договору должен выплатить банку 1 июля 2017 г. 120 000 руб. Банк даёт ссуды под 18% годовых (сложных). В договоре оговорена возможность как досрочного возврата ссуды, так и продления срока ссуды без изменения процента. Вычислим, какую сумму должен предприниматель вернуть в банк, если он решил вернуть долг: а) 1 января 2016 г.; б) 1 января 2018г.
Решение.
- а) Так как платеж делается на 1.5 года раньше срока, то предприниматель должен внести в банк меньшую сумму:
- б) В этом случае платеж делается на 0.5 года позже срока, поэтому в банк придется внести сумму, большую, чем 120 000 руб.:
Рассмотрим теперь ситуацию объединения (консолидации) платежей: требуется заменить несколько платежей со сроками выплат соответственно, одним платежом . При этом могут возникнуть две задачи: определить величину объединённого платежа , если он должен быть сделан в момент времени ; определить срок платежа . Изобразим рассматриваемую ситуацию на оси времени:
Для эквивалентности замены платежей необходимо, чтобы в момент 0 приведённая ценность платежа была равна сумме приведённых ценностей всех платежей , то есть должно выполняться равенство:
Если требуется определить величину единого платежа , то из последнего равенства получаем формулу:
Чтобы определить срок платежа , решим уравнение (8.3) относительно . Прологарифмируем обе части этого уравнения и, выполнив необходимые преобразования, получим формулу для :
Важно понимать, что на результат вычислений по формулам (8.5) и (8.6) не может повлиять то, в каких единицах выражены суммы платежей: в рублях, тысячах или миллионах рублей. Необходимо только соблюдать следующее правило: все платежи должны быть выражены в одних и тех же единицах.
Пример 70. По контракту предприниматель должен выплатить поставщику сырья через полгода после поставки 800 00 руб., ещё через полгода - 1 500 000 руб. и ещё через полгода - 1 300 000 руб. Эти платежи решено объединить в один платеж и выплатить весь долг через год после поставки сырья. Вычислим, какую сумму надо выплатить, если на долг начисляется 16% годовых (сложных).
Решение. Чтобы применить формулу (8.5), требуется сначала вычислить моменты платежей (единицей измерения является год): . Приводя все платежи к моменту времени 0, получаем по этой формуле:
Пример 71. Предприниматель из предыдущего примера планирует выплатить долг одним платежом, равным 3 600 000 руб. Определим, в какой момент он должен сделать такой платеж.
Решение. Как было отмечено выше, результат вычислений не зависит от того, в каких единицах выражены суммы платежей. Воспользуемся этим свойством и выразим платежи из условия примера в миллионах рублей. По формуле (8.6) находим значение :
Следовательно, суммы 3.6 млн руб. хватит, чтобы погасить долг не позднее чем через 1 год 22 дня после поставки сырья.