Контроль функции выходов инициального автомата с использованием кратного безусловного эксперимента

Определение 8.4. Приведенное покрытие графа, являющееся минимальным по кратности и по длине, назовем минимальным.

Покажем, что минимальное покрытие графа не всегда существует. С этой целью рассмотрим граф, изображенный на рис.8.2.

Рис. 8.2.

Покрытия и , как легко видеть, являются приведенными покрытиями этого графа. Покрытие является минимальным по кратности (кратность его равна 1), но не минимальным по длине (длина его равна 13). Покрытие (длины 11 и кратности 2) является минимальным по длине, но не минимальным по кратности. Легко установить, что для данного графа минимального покрытия не существует.

Перейдем к отысканию условий, при которых минимальное покрытие существует. Покажем справедливость следующего вспомогательного утверждения.

Лемма 8.5. Если есть покрытие графа минимальной длины, то любой путь из , не оканчивающийся в начальной вершине графа, оканчивается в некоторой положительной его вершине.

Доказательство. Пусть - покрытие графа минимальной длины . Предположим, что существует путь , оканчивающийся в некоторой не положительной вершине , где . Покрытию соответствует регулярный сильно связный сверхграф , способ построения которого описан при доказательстве леммы 8.3.

Преобразуем граф следующим образом: каждую дугу заменим дугами с тем же началом и концом, где - число путей из , содержащих дугу . Легко видеть, что полученный в результате граф обладает эйлеровым контуром. Поскольку не обладает положительной вершиной графа и , то в графе эта вершина отрицательна, а в графе , очевидно, . Отсюда следует, что найдется такая дуга , оканчивающаяся в вершине , что в графе существуют дуги , где . Выполним следующее преобразование графа : исключим из него дугу и одну замыкающую дугу, исходящую из . Далее, из начальной вершины дуги , если она отлична от , проводим одну замыкающую дугу в . Полученный в результате такого преобразования новый граф , как это следует из его построения, обладает эйлеровым контуром.

Число дуг графа по крайней мере на единицу меньше числа дуг графа . Любому эйлерову контуру графа соответствует покрытие графа длины, не большей . Отсюда следует, что не является покрытием минимальной длины. Полученное противоречие доказывает лемму.

Сформулируем достаточное условие существования у графа минимального покрытия.

Теорема 8.4. Если у правильного графа множества и совпадают, то у него существует мимнимальное покрытие.

Доказательство. Если у правильного графа множество пусто, то он обладает эйлеровым контуром. Очевидно, что эйлеров контур является минимальным покрытием графа.

Предположим теперь, что множество не пусто, следовательно, также не пусто. Поскольку , а множество состоит из вершин, из которых не достижима ни одна отрицательная вершина, то граф заведомо не является сильно связным. В силу следствия 1 теоремы 8.3 минимальная кратность покрытия графа в таком случае равна (8.2).

Пусть есть покрытие графа минимальной длины и каждый путь из оканчивается в вершине, не равной . Тогда по лемме 8.5 каждый путь из оканчивается в вершине множества . Предположим, что не минимально по кратности, т. е. его кратность больше (8.1). Пусть покрытию соответствует сильно связный регулярный граф (см. доказательство леммы 8.2). По графу построим эйлеров граф , заменяя каждую дугу столькими дугами (с тем же началом и концом), скольким путям из принадлежит дуга . Поскольку больше (8.1), то найдется вершина , из которой в графе выходит замыкающих дуг, где . Следовательно, в графе найдется дуга , входящая в вершину и принадлежащая по крайней мере двум путям из . Тогда в графе удалим одну дугу , соответствующую дуге , и удалим одну замыкающую дугу, исходящую из . Затем из начала дуги в вершину проведем одну дугу. Легко видеть, что полученный граф является эйлеровым и его эйлерову контуру соответствует покрытие графа длины . Следовательно, не является покрытием минимальной длины. Противоречие доказывает, что - минимально еопкрытие.

Рассмотрим, наконец, минимальное по длине покрытие графа , у которого некоторые пути оканчиваются в . Пусть кратность покрытия больше (8.1) и пути оканчиваются в . Легко видеть, что покрытие также является покрытием минимальной длины и все пути из оканчиваются только в положительных вершинах. Выше было показано, что кратность покрытия минимальна. Теорема доказана.

Перейдем к описанию алгоритма построения покрытия правильного графа . Пути искомого покрытия обозначим через . Каждой вершине поставим в соответствие множество всех дуг, выходящих из . Дуги в занумеруем числами причем если и - петля, то .

В алгоритме будут использованы функции и , определяемые такими соотношениями: - номер дуги во множестве - конечная вершина пути , исходящего из вершины .

В описанном алгоритме кроме построения покрытия производится вычисление параметра , необходимого для оценки длины полученного покрытия.

Для краткости при описании алгоритма используем операцию присваивания ":=", употребляемую в том же смысле, что и в алгоритмических языках.

Алгоритм А.

1. ; для всех .
2. Если , то перейти к пункту 3, иначе к пункту 4.
3. , где - дуга из множества , имеющая наименьший номер; ; если , то ; перейти к пункту 2.
4. Если то перейти к пункту 5, иначе работа алгоритма завершается.
5. Если из вершины достижима хотя бы одна вершина , для которой , то перейти к пункту 6, иначе к пункту 7.
6. Построить кратчайший путь , ведущий из вершины в вершину из множества , и перейти к пункту 3.
7. и перейти к пункту 3.

Заметим, что в случае сильно связного графа полученное по этому алгоритму покрытие имеет кратность 1.

Оценим сверху длину покрытия, построенного с помощью алгоритма . Пусть - мощность множества . Множество упорядочим отношением " " и обозначим через , где , если .

Алгоритм можно считать пошаговым процессом, где -м шагом будут являться построения, выполняемые алгоритмом при фиксированном значении параметра . Путь , описанный в пункте 6 алгоритма , будем называть транслирующим. Очевидно, что длина покрытия, построенного по алгоритму, равна сумме числа дуг графа и длин всех транслирующих путей.

Оценим суммарную длину всех транслирующих путей покрытия, построенного по алгоритму .

Из описанного алгоритма следует, что длина транслирующего пути не превосходит числа таких вершин из , для которых на -м шаге . Поэтому для значений от 0 до включительно , где - "пустой" путь. Далее, для значений от до включительно длина не превосходит единицы. Из описания алгоритма следует, что на последнем шаге работы алгоритма значение равно . Отсюда, учитывая предыдущие рассуждения, легко показать, что суммарная длина транслирующих путей, построенных по алгоритму, не превосходит величины

( 8.3)

Следовательно, справедливо следующее утверждение.

Теорема 8.5. Для правильного графа всегда существует покрытие, длина которого не превышает величины

( 8.4)

где - число дуг графа.

Следствие 1. Для правильного -вершинного автоматного графа степени всегда существует покрытие длины, не превышающей величины

( 8.5)

Следствие непосредственно вытекает из теоремы 8.5, так как для автоматного графа и .

В [16] доказано, что для всех и существует -вершинный сильно связный автоматный граф степени , у которого имеется контур, проходящий через все дуги графа, минимальной длины, равной (8.5). Из этого факта следует, что оценка (8.5) достижима при всех и . Следовательно, оценки (8.4) и (8.3) также достижимы.

Перейдем теперь к автоматной интерпретации полученных результатов. Если автомат Мили задан в виде конечного ориентированного автоматного графа, то каждому пути покрытия графа ставится в соответствие некоторое входное слово, а множество слов, соответствующих всем путям покрытия, составит кратный безусловный эксперимент. Таким образом, для распознавания функции выходов заданного инициального автомата или ему эквивалентного с состояниями и входными сигналами может быть использован кратный эксперимент , длина которого не превышает величины (8.5), а кратность - величины (8.2). Необходимое и достаточное условие существования кратного эксперимента, а также алгоритм его построения получаются простой переформулировкой теоремы 8.1 и алгоритма А.

Вопросы и упражнения

1. Приведите постановку задачи контроля функции выходов автомата с помощью кратного эксперимента.
2. Приведите определение покрытия графа и его кратности.
3. Каков критерий существований покрытия графа?
4. Дайте определение приведенного покрытия графа.
5. Приведите верхнюю и нижнюю оценки кратности для правильного не сильно связного графа.
6. Дайте определение минимального покрытия графа.
7. Каково условие существования минимального покрытия?
8. Опишите процедуру построения покрытия правильного графа.