Преобразования автоматов в автоматы без потери информации

Рассмотрим проверочный граф автомата , где - регулярное выражение события . Выделим все слова из , такие, что соответствующие им пути в графе содержат выделенные дуги, исходящие из вершины типа , а также дуги, заходящие в вершину такого же типа. Множество всех таких путей обозначим через . Легко видеть, что множество всех путей и множество выделенных дуг принадлежат : все пути из , не совпадающие с путями из и , содержат их в качестве отрезков.

Отсюда следует, что если в графе отсутствуют пути из множеств и , то и пути из множества в нем также отсутствуют. Таким образом, из теоремы 5.2 вытекает, что для преобразования автомата в -БПИ-автомат достаточно из графа удалить все пути множества и все выделенные дуги множества .

Перейдем к рассмотрению алгоритма, позволяющего по множествам и строить такое множество дуг графа , чтобы после их удаления из этого графа в нем отсутствовали все пути из и все дуги из .

Алгоритм выбора множества дуг можно сформулировать следующим образом.

Полагаем , где - множество выделенных дуг графа , каждая из которых соединяет вершины типа . Если , то перейти к пункту 2, иначе к пункту 4.

1. Из множества выделяем множество всех дуг, имеющих максимальный вес.
2. Добавляем в одну дугу из , выбранную произвольно.
3. Из графа удаляем дуги, входящие в множество . Вновь полученный граф обозначаем также .
4. Из множества удаляем пути, содержащие дуги из множества , построенного на предыдущем этапе. Если , то построение окончено, иначе переходим к пункту 6.
5. Произво

Пусть получено по описанному алгоритму, причем дуги в занумерованы в том порядке, в котором они присоединялись к в соответствии с алгоритмом. Пусть - подмножество всех путей из множества , проходящих через дугу .

Лемма 5.1. Для любых справедливо соотношение .

Доказательство. Для определенности положим, что . На основании пункта 4 алгоритма из удаляется дуга , что влечет за собой удаление из этого же графа и всех путей из множества . Это же множество путей удаляется из на основании пункта 5 алгоритма. Присоединение дуги к множеству на основании пункта 2 алгоритма возможно лишь в том случае, если в множестве , полученном на предыдущем этапе, есть по крайней мере один путь, проходящий через эту дугу. Поскольку после проведенной корректировки заведомо не содержит , отсюда следует, что . Обратное соотношение тоже справедливо, так как в противном случае после удаления дуги из графа все пути множества были также удалены, что противоречит предположению о наличии дуги во множестве .

В качестве следствия леммы получаем, что для любого , справедливы соотношения и .

Отметим следующий очевидный факт: множество выделенных дуг заведомо принадлежит решению задачи 1 независимо от того, получено ли оно по описанному алгоритму или иным способом.

Из изложенного выше следует, что по предложенному алгоритму строится множество , не являющееся избыточным в том смысле, что на каждом его шаге из графа удаляется непустое множество путей, принадлежащих . Если , то мощность минимальна и строится за один шаг.

Рассмотренная нами задача построения множества дуг эквивалентна задаче о покрытии, или задаче построения минимальной формы булевой функции. Если проводить аналогию с последней задачей, то построенное с помощью предложенного алгоритма множество соответствует в силу леммы 5.1 приведенной системе простых импликант. Таким образом, вопрос о близости минимального по мощности решения задачи 1 и решения, построенного с помощью предложенного алгоритма, эквивалентен вопросу о близости приведенной системы простых импликант к минимальной приведенной системе импликант (минимальной форме булевой функции). Продолжая аналогию, заметим, что из построенного по предложенному алгоритму множества некоторые дуги можно удалять способом, подобным способу удаления импликант из приведенной системы [21].

Проиллюстрируем предложенный способ преобразования автомата в -БПИ-автомат на примере.

Рассмотрим автомат , заданный табл. 5.1. Пусть .

Вследствие замечания к теореме 5.1 в рассматриваемом примере нам достаточно ограничиться при замене итерации по изложенному выше способу значением , равным 8, так как в выражении до и после итерации стоит символ и с учетом этого длина слов в будет доведена до 10 (значение при ) и при этом значении . В результате преобразования получим следующее выражение:

Граф , или, что то же самое, , имеет вид, изображенный на рис. 5.2, где двойные стрелки соответствуют выделенным дугам.

Рис. 5.2.

Множество путей в нашем случае таково:

В соответствии с предложенным выше алгоритмом выбора на первом шаге получаем .

Далее, максимальный вес, равный 8, в множестве имеют дуги и ; тогда полагаем , выбрав первую из названных дуг. После корректировки в множестве остается два первых пути из списка, приведенного выше. Поскольку вес дуги максимален (он равен 2), то добавляем ее в и на этом процесс построения заканчивается, так как множество после повторной корректировки пустое. Таким образом,

Используя алгоритм из [23], получаем следующее разбиение множества :

Это разбиение имеет два класса, следовательно, для кодирования символов классов достаточно, например, одной двоичной переменной. Пусть и , тогда автомат с контрольными точками будет представлен в табл. 5.2.

Отметим, что идея изложенного метода преобразования автоматов очевидным образом может быть использована и для решения следующей задачи: для заданного регулярного множества непустых входных слов вывести выходные контрольные точки в автомате таким образом, чтобы каждое слово из стало диагностическим для автомата с контрольными точками.

Предложенный метод решения задачи 1 в качестве одного из этапов содержит построение путей множества , выполняемого визуально по проверочному графу. Такое построение становится тем более затруднительным, чем большее число состояний имеет данный автомат. В связи с этим рассмотрим формализованный метод построения такого множества дуг автомата , что удаление их превращает автомат в -БПИ-автомат. В основу метода положим представление автомата в виде матрицы переходов и выполнение операций над этой матрицей, описанных, например, в работе [18].

Напомним, что для автомата , имеющего состояний, матрица переходов состоит из строк и столбцов и обозначается . Пусть - множество состояний автомата и пусть обозначает дугу графа автомата , направленную от к под воздействием входного сигнала с выдачей выходного сигнала . Элемент матрицы , т. е. содержимое клетки, расположенной на пересечении -й строки и -го столбца, содержит все дуги, ведущие из вершины в вершину . Если такие дуги отсутствуют, то элемент полагается равным нулю.

Условимся считать, что обозначение -го состояния приписано -й строке и -му столбцу матрицы переходов.

В работе [18] введена операция возведения в степень матрицы переходов и доказано, что элемент матрицы , является множеством всех путей длины , ведущих из состояния в состояние автомата . Этот факт и является основой для формализованного нахождения тех путей в графе автомата , которые являются причиной потери информации.