НОУ ИНТУИТ | Элементы теории вероятностей в задачах. Лекция 9: Локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа

Учитесь и получайте официальные документы БЕСПЛАТНО. Вы можете поддержать наш проект.

Регистрация Вход

Твой путь к знаниям!

Опубликован: 20.10.2016 | Уровень: для всех | Доступ: платный

|

Вам нравится? Нравится 11 студентам

| Поделиться |

Поддержать программу

Ключевые слова: вероятность, функция, погрешность

Основные теоретические сведения

Пусть в каждом из n независимых испытаний событие A может произойти с вероятностью p, q=1-p(условия схемы Бернулли). Обозначим как и раньше, через P_n(k) вероятность ровно k появлений события А в n испытаниях. Кроме того, пусть P_n(k_1;k_2) – вероятность того, что число появлений события А находится между k_1 и k_2 .

Локальная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

$P_n(k)=\frac 1 {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \varphi \left( \frac {k-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right),\varphi(x)=\frac 1 {\sqrt{2 \cdot \pi}} \cdot e^{\frac {-x^2} 2},x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}}$

( 1.22)

– функция Гаусса

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Интегральная теорема Муавра-Лапласа.

Если n – велико, а р – отлично от 0 и 1, то

$P(n;k_1,k_2)P_n(k_1;k_2)=\Phi \cdot \left(\frac {k_2-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right) -\Phi \cdot \left(\frac {k_1-n \cdot p} {\sqrt{n \cdot p \cdot q}} \right), \Phi(x)=\frac 1 {\sqrt {2 \cdot \pi}} \cdot \int \limits^x_{-\infty} e ^{\frac {-t^2} 2} \cdot d \cdot t$

( 1.23)

– функция Лапласа.

где k – появление событий, m – число исходов, n – число независимых испытаний, p – вероятность "успеха", q – вероятность "неудачи".

Функции Гаусса и Лапласа обладают свойствами, которые необходимо знать при использовании таблиц значений этих функций:

$\varphi (-x)=\varphi (x), \hat {O} (-x)=-\hat {O} (x)$
при больших x верно
$\varphi (x) \approx 0, \hat {O} (x) \approx 0,5$

Теоремы Лапласа дают удовлетворительное приближение при $n \cdot p \cdot q \geq 9$ . Причем чем ближе значения p*q к 0,5, тем точнее данные формулы. При маленьких или больших значениях вероятности (близких к 0 или 1) формула дает большую погрешность (по сравнению с исходной формулой Бернулли).

Пример решения задачи

Задача: Для мастера определенной квалификации вероятность изготовить деталь отличного качества равна 0,75. За смену он изготовил 400 деталей. Найти вероятность того, что в их числе 280 деталей отличного качества.

Дано:

n=400

p=0,75

q=0,25

k=280

Решение:

1. Находим

$x=\frac {m-n \cdot p} {\sqrt {n \cdot p \cdot q}}=\frac {280-300} {\sqrt {75}} = -2,31$