Методы и алгоритмы анализа структуры многомерных данных

Если процедура факторного анализа сжимает в малое число количественных переменных данные, описанные количественными переменными, то кластерный анализ сжимает данные в классификацию объектов. Синонимами термина "кластерный анализ" являются "автоматическая классификация объектов без учителя" и "таксономия".

Если данные понимать как точки в признаковом пространстве, то задача кластерного анализа формулируется как выделение "сгущений точек", разбиение совокупности на однородные подмножества объектов.

При проведении кластерного анализа обычно определяют расстояние на множестве объектов; алгоритмы кластерного анализа формулируют в терминах этих расстояний. Мер близости и расстояний между объектами существует великое множество. Их выбирают в зависимости от цели исследования. В частности, евклидово расстояние лучше использовать для количественных переменных, расстояние хи-квадрат — для исследования частотных таблиц, имеется множество мер для бинарных переменных.

Кластерный анализ является описательной процедурой, он не позволяет сделать никаких статистических выводов, но дает возможность провести своеобразную разведку — изучить "структуру совокупности".

Иерархический кластерный анализ

Процедура иерархического кластерного анализа в SPSS предусматривает группировку как объектов (строк матрицы данных), так и переменных (столбцов). Можно считать, что в последнем случае роль объектов играют переменные, а роль переменных — столбцы.

Этот метод реализует иерархический агломеративный алгоритм. Его смысл заключается в следующем. Перед началом кластеризации все объекты считаются отдельными кластерами, которые в ходе алгоритма объединяются. Вначале выбирается пара ближайших кластеров, которые объединяются в один кластер. В результате количество кластеров становится равным N-1. Процедура повторяется, пока все классы не объединятся. На любом этапе объединение можно прервать, получив нужное число кластеров. Таким образом, результат работы алгоритма агрегирования определяют способы вычисления расстояния между объектами и определения близости между кластерами.

Для определения расстояния между парой кластеров могут быть сформулированы различные разумные подходы. С учетом этого в SPSS предусмотрены следующие методы, определяемые на основе расстояний между объектами:

• Среднее расстояние между кластерами (Between-groups linkage).
• Среднее расстояние между всеми объектами пары кластеров с учетом расстояний внутри кластеров(Within-groups linkage).
• Расстояние между ближайшими соседями — ближайшими объектами кластеров (Nearest neighbor).
• Расстояние между самыми далекими соседями (Furthest neighbor).
• Расстояние между центрами кластеров (Centroid clustering).
• Расстояние между центрами кластеров (Centroid clustering), или центроидный метод. Недостатком этого метода является то, что центр объединенного кластера вычисляется как среднее центров объединяемых кластеров, без учета их объема.
• Метод медиан — тот же центроидный метод, но центр объединенного кластера вычисляется как среднее всех объектов (Median clustering).
• Метод Варда (Ward's method). В качестве расстояния между кластерами берется прирост суммы квадратов расстояний объектов до центров кластеров, получаемый в результате их объединения.

Расстояния и меры близости между объектами. У нас нет возможности сделать полный обзор всех коэффициентов, поэтому остановимся лишь на характерных расстояниях и мерах близости для определенных видов данных.

Меры близости отличаются от расстояний тем, что они тем больше, чем более похожи объекты.

Пусть имеются два объекта X=(X₁,…,X_m) и Y=(Y₁,…,Y_m). Применяя эту запись для объектов, определить основные виды расстояний, используемых процедуре CLUSTER:

• Евклидово расстояние (Euclidian distance).
• Квадрат евклидова расстояния (Squared Euclidian distance)

Эвклидово расстояние и его квадрат целесообразно использовать для анализа количественных данных.

• Мера близости — коэффициент корреляции , где и — компоненты стандартизованных векторов X и Y. Эту меру целесообразно использовать для выявления кластеров переменных, а не объектов.
• Расстояние хи-квадрат получается на основе таблицы сопряженности, составленной из объектов X и Y, которые, предположительно, являются

  Таблица 5.1. Таблица для пары объектов — строк частот

  X	X1	...	Xm	X.
  Y	Y1	...	Ym	Y.
  X+Y	X1+Y1	...	Xm+Ym	X.+Y.

  векторами частот. Здесь рассматриваются ожидаемые значения элементов, равные E(X_i)=X.*(X_i+Y_i)/(X.+Y.) и E(Y_i)=Y.*(X_i+Y_i)/(X.+Y.), а расстояние хи-квадрат имеет вид корня из соответствующего показателя .
• Расстояние Фи-квадрат является расстоянием хи-квадрат, нормированным "число объектов" в таблице сопряженности, представляемой строками X и Y, т.е. на корень квадратный из N=X.+Y..
• В иерархичесом кластерном анализе в SPSS также имеется несколько видов расстояний для бинарных данных (векторы X и Y состоят из нулей и единиц, обозначающих наличие или отсутствие определенных свойств объектов). Наиболее естественными из них, по видимому, являются евклидово расстояние и его квадрат.

Стандартизация

Непосредственное использование переменных в анализе может привести к тому, что классификацию будут определять переменные, имеющие наибольший разброс значений. Поэтому применяются следующие виды стандартизации:

• Z -шкалы (Z-Scores). Из значений переменных вычитается их среднее, и эти значения делятся на стандартное отклонение.
• Разброс от -1 до 1. Линейным преобразованием переменных добиваются разброса значений от -1 до 1.
• Разброс от 0 до 1. Линейным преобразованием переменных добиваются разброса значений от 0 до 1.
• Максимум 1. Значения переменных делятся на их максимум.
• Среднее 1. Значения переменных делятся на их среднее.
• Стандартное отклонение 1. Значения переменных делятся на стандартное отклонение.
• Кроме того, возможны преобразования самих расстояний, в частности, можно расстояния заменить их абсолютными значениями, это актуально для коэффициентов корреляции. Можно также все расстояния преобразовать так, чтобы они изменялись от 0 до 1.

Таким образом, работа с кластерным анализом может превратиться в увлекательную игру, связанную с подбором метода агрегирования, расстояния и стандартизации переменных с целью получения наиболее интерпретируемого результата. Желательно только, чтобы это не стало самоцелью и исследователь получил действительно необходимые содержательные сведения о структуре данных.

Процесс агрегирования данных может быть представлен графически деревом объединения кластеров (Dendrogramm) либо "сосульковой" диаграммой (Icicle).

Рис. 5.2. Дендрограмма классификации

Пример иерархического кластерного анализа. Проведем кластерный анализ по полученным нами ранее факторам на агрегированном файле Курильского опроса:

Рис. 5.3. Классификация городов

CLUSTER fac1_1 fac2_1 /METHOD BAVERAGE /MEASURE= SEUCLID /ID=name /PRINT SCHEDULE CLUSTER(3,5) /PLOT DENDROGRAM .

В команде указаны переменные fac1_1 fac2_1 для кластеризации. По умолчанию расстояние между кластерами определяется по среднему расстоянию между объектами ( METHOD BAVERAGE ), а расстояние между объектами — как квадрат евклидова ( MEASURE= SEUCLID ). Кроме того, распечатывается протокол ( PRINT SCHEDULE ), в качестве переменных выводятся классификации из 3, 4, 5 кластеров ( CLUSTER(3,5) ) и строится дендрограмма ( PLOT DENDROGRAM ).

Разрез дерева агрегирования (рис. 5.2) вертикальной чертой на четыре части дал два кластера, состоящих из уникальных по своим характеристикам городов Александровск-Сахалинский и Черемхово; кластер из 5 городов (Оха, Елизово, Южно-Сахалинск, Хабаровск, Курильск); еще один кластер из 14 городов составили последний кластер.

Естественность такой классификации демонстрирует полученное поле рассеяния данных (рис.5.3).

Процесс объединения подробно показан в протоколе объединения (табл. 5.2). В нем указаны стадии объединения, объединяемые кластеры (после объединения кластер принимает минимальный номер из номеров объединяемых кластеров). Далее следует расстояние между кластерами, номер стадии, на которой кластеры ранее уже участвовали в объединении; затем следующая стадия, где произойдет объединение с другим кластером.

На практике интерпретация кластеров требует достаточно серьезной работы, изучения разнообразных характеристик объектов для точного описания типов объектов, которые составляют тот или иной класс.