Исследование качества генераторов случайных чисел

Теоретическая часть

В практике моделирования и особенно в практике статистических испытаний приходится использовать случайные последовательности или просто случайные числа. При моделировании систем на ЭВМ программная имитация случайных воздействий любой сложности сводится к генерированию некоторых стандартных (базовых) процессов и к их последующему функциональному преобразованию. Получение случайных чисел с требуемым законом распределения обычно выполняется в два этапа:

1. Формирование физическим или программным методом случайного числа , равномерно распределенного на
2. Программный переход от к случайному числу , имеющему требуемое распределение [16].

В связи с этим особое значение приобретают случайные числа, равномерно распределенные в интервале . Например, генерирование экспоненциально распределенных случайных чисел может быть выполнено по формуле

где:

— параметр экспоненциального закона;

— равномерно распределенное случайное число из интервала .

Существуют физические и программные датчики (генераторы) случайных чисел. Программные датчики случайных чисел фактически генерируют псевдослучайные числа. Согласно Лемеру, последовательность псевдослучайных чисел можно считать случайной, если "каждый ее член непредсказуем для непосвященного и она удовлетворяет ряду традиционных статистических тестов".

Полученные с помощью программных методов случайные последовательности в идеале должны состоять из:

• равномерно распределенных,
• статистически независимых,
• воспроизводимых,
• неповторяющихся чисел.

Практическая часть

1. Исследование качества генераторов случайных чисел (ГСЧ) по критерию отклонения математического ожидания, дисперсии среднего квадратического отклонения

Известно, что при равномерном законе распределения случайной непрерывной величины в интервале соответствующее математическое ожидание , дисперсия и среднеквадратичное отклонение имеют следующие теоретические значения: ; ; ( ).

Критерий заключается в сравнении теоретических параметров равномерного распределения с реальными значениями, полученными для конечной выборки.

1.1. Анализ качества ГСЧ системы MATLAB

В системе MATLAB всех версий используется функция , реализующая равномерно распределенные числа в интервале .

Среднее значение массива чисел определяется функцией , дисперсия — функцией , среднее квадратическое отклонение (стандартное отклонение) — функцией (см. ).

Программный код анализа случайных чисел:

clear, clc
%% Генерирование выборки 500 случайных чисел
x = rand(500, 1); 
%% Вычисление среднего значения выборки
m1 = mean(x)           
%% Вычисление дисперсии данной выборки
s2 = var(x)
%% Вычисление среднего квадратического отклонения 
s = std(x) 

%% Расчет относительных погрешностей в процентах
%% по математическому ожиданию
m = 0.5;
Dm = abs((mean(x)- m)/m)*100;
fprintf('\n Относительная погрешность по математическому ожиданию: %g%%\n', Dm);
%% по дисперсии
d = 1/12;
Dd = abs((var(x)- d)/d)*100;
fprintf(' Относительная погрешность по дисперсии: %g%%\n', Dd);
%% по среднему квадратическому отклонению
sd = sqrt(d);
Ds = abs((std(x)- sqrt(1/12))/sqrt(1/12))*100;

fprintf(' Относительная погрешность по стандартному отклонению: %g%%\n', Ds);

%% Генерирование дополнительной выборки
y = rand(500, 1);

%% Диаграмма оценки равномерности случайных чисел
fig1 = figure(1);
set(fig1, 'name', 'Случайные числа функции rand')
plot(x,y,'o', 'markersize', 4);
str = '\bf\fontsize{11}\fontname{times}Проверка на равномерность случайных чисел';
title(str)
xlabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')
ylabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')

В программе выполняется построение диаграммы визуальной оценки равномерности случайных чисел. Числа-кружочки на диаграмме должны равномерно заполнить квадрат со стороной, равной единице. На рис. 5.1 приведен пример проверки случайной последовательности на равномерность распределения в интервале .

Рис. 5.1. Проверка равномерности случайных чисел для функции rand

Задание 1

1. Проведите в зависимости от номера компьютера статистическое исследование функции при различных объемах выборки: малых ; средних ; больших . Результаты испытаний усредните.

   Компьютер № 1: 11 испытаний (n: 24, 142, 600);
    Компьютер № 2: 12 испытаний (n: 22, 144, 650);
    Компьютер № 3: 13 испытаний (n: 20, 146, 700);
    Компьютер № 4: 14 испытаний (n: 18, 148, 750);
    Компьютер № 5: 15 испытаний (n: 16, 150, 800);
    Компьютер № 6: 16 испытаний (n: 14, 152, 850);
    Компьютер № 7: 17 испытаний (n: 12, 154, 900);
    Компьютер № 8: 18 испытаний (n: 10, 156, 950);
    Компьютер № 9: 19 испытаний (n: 19, 149,1000).
    Компьютер № 10: 20 испытаний (n: 20, 150, 1010).
2. Постройте график изменения относительных погрешностей среднего, дисперсии, стандартного отклонения от числа испытаний.
3. Пункт 1 задания выполните для выборок, сформированных в системах EXCEL, DELPHI (консольное приложение), PASCAL, С, GPSS/PC. Сформированные выборки импортируйте в MATLAB, где произведите необходимый анализ. Формирование выборки случайных чисел в GPSS/PC выполните по номеру датчика случайных чисел, который соответствует номеру компьютера ( .).
4. Постройте гистограммы в системе MATLAB для сформированных выборок (полученных в различных системах) с помощью графической функции (см. ).

Примечание. В системе GPSS/PC сформируйте выборки только малых и средних объемов (в соответствии с номером компьютера).

1. Для фиксации случайных чисел в GPSS/PC можно использовать операторы , и блок .

1.2. Исследование качества ГСЧ, сформированного по методу Фибоначчи

Генератор случайных чисел, использующий метод Фибоначчи, применялся в начале 50-х годов ХХ века [9]. Рекуррентное соотношение Фибонначи имеет вид

,

где:

— целые числа, лежащие между нулем и некоторым большим числом , который называется модулем;

— порядковый номер числа [9].

Для получения случайных чисел из интервала следует вычислить дробь

Программный код формирования случайных чисел по методу Фибоначчи:

clear,clc,close all
 
N = 500;  %% количество генерируемых чисел
M = 2^30; %% модуль
 
%% 1-я последовательность случайных чисел
X0 = 12345; %% 1-е произвольное число
X1 = 67890; %% 2-е произвольное число

for n = 1 : N 

X = mod( X1 + X0, M); %% следующее число
X0 = X1;
X1 = X;
Zx(n,1) = X;

end
Rx = Zx/M;
 
mf = mean(Rx);
fprintf('\n Среднее выборочное для метода Фибоначчи: %g%%\n', mf);
 
sf2 = var(Rx);
fprintf(' Выборочная дисперсия для метода Фибоначчи: %g%%\n', sf2);
 
sf = std(Rx);
fprintf(' Выборочное стандартное отклонение: %g%%\n', sf);
 
%% Расчет относительных погрешностей в процентах
m = 0.5;
fprintf('\n Относительная погрешность по математическому ожиданию: %g%%\n', abs((mf - m)/m)*100);

d = 1/12;
fprintf(' Относительная погрешность по дисперсии: %g%%\n', abs((sf2 - d)/d)*100);

%% по среднему квадратическому отклонению
sd = sqrt(d);
fprintf(' Относительная погрешность по стандартному отклонению: %g%%\n', abs((sf - sd)/sd)*100);
 

%% 2-я последовательность случайных чисел
Y0 = 333; %% 1-е произвольное число
Y1 = 123; %% 1-е произвольное число

for n = 1 : N 

Y = mod( Y1 + Y0, M); %% следующее число
Y0 = Y1;
Y1 = Y;
Zy(n,1) = Y;

end

Ry = Zy/M;

%% Диаграмма оценки равномерности случайных чисел
fig2 = figure(2);
set(fig2, 'name', 'Случайные числа Фибоначчи')
plot(Rx,Ry,'o', 'markersize', 4);
str = '\bf\fontsize{11}\fontname{times}Проверка на равномерность случайных чисел';
title(str)
xlabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')
ylabel('\bf\fontsize{11}\fontname{times} Random numbers')

Пример выполнения программы (без диаграммы)

Среднее выборочное для метода Фибоначчи: 0.49687%
 Выборочная дисперсия для метода Фибоначчи: 0.0861675%
 Выборочное стандартное отклонение: 0.293543%

 Относительная погрешность по математическому ожиданию: 0.626048%
 Относительная погрешность по дисперсии: 3.40103%
 Относительная погрешность по стандартному отклонению: 1.6863%

Задание 2

1. Напишите программу формирования простых трехзначных чисел с целью их использования в качестве начальных чисел в методе Фибоначчи. Рассчитайте относительные погрешности по математическому ожиданию, дисперсии, стандартному отклонению.
2. Напишите программу формирования случайных чисел Фибоначчи без вспомогательных массивов и .
3. Постройте гистограммы в системе MATLAB для сформированных выборок ( и ) с помощью графической функции (см. ) с разбивкой графического окна с помощью функции (см. ).

1.3. Исследование качества ГСЧ, сформированного по методу срединных квадратов

Метод срединных квадратов был предложен Нейманом [19] и заключается в следующем: выбирается число, меньшее 1, разрядностью . Оно возводится в квадрат. Из полученного результата (разрядность которого должна быть , если нет, то добавляются нули справа от полученного числа) выбираются чисел из середины полученного после возведения в квадрат числа. Число записывается после десятичной точки. Далее все повторяется.

Для примера выберем 4-разрядное ( ) число . После возведения в квадрат получим число, равное 0.01522756. Из него выбираем четыре срединные цифры, т. е. 5227. Получаем новое случайное (псевдослучайное) число . Описанные действия отобразим в следующем виде:

и так далее.

Задание 3

1. Напишите программу формирования случайных чисел по методу срединных.
2. Начальное число выберите (по указанию преподавателя) из следующего списка, приведенного в таблице 5.1.

Таблица 5.1.

Варианты заданий для метода срединных квадратов
№ 1	; ; ; ; ; ; ; ; ;
№ 2	; ; ; ; ; ; ; ; ;
№ 3	; ; ; ; ; ; ; ; ;
№ 4	; ; ; ; ; ; ; ; ;

Примечание. Для проверки периодичности (непериодичности) формируемой случайной последовательности можно применить, например, функцию (см. ).

1. Проведите, в зависимости от номера компьютера, статистическое исследование ГСЧ (вычисление среднего значения выборки, дисперсии, стандартного отклонения выборки) при различных объемах выборки: малых , средних , больших . Результаты испытаний усредните и сравните с аналогичными результатами, которые проведены для выборки, сформированной с помощью функции rand системы MATLAB.

   Компьютер № 1: (объем выборки: 24, 142, 600);
    Компьютер № 2: (объем выборки: 22, 144, 650);
    Компьютер № 3: (объем выборки: 20, 146, 700);
    Компьютер № 4: (объем выборки: 18, 148, 750);
    Компьютер № 5: (объем выборки: 16, 150, 800);
    Компьютер № 6: (объем выборки: 14, 152, 850);
    Компьютер № 7: (объем выборки: 12, 154, 900);
    Компьютер № 8: (объем выборки: 10, 156, 950);
    Компьютер № 9: (объем выборки: 17, 157, 999);
    Компьютер № 10: (объем выборки: 19, 158, 1010).
2. Постройте в системе MATLAB гистограммы для сформированных выборок случайных чисел по методу срединных квадратов и сравните с гистограммой для выборок, сформированных с помощью функции системы MATLAB.
3. Постройте гистограммы для сформированных выборок.
4. Постройте диаграмму визуального контроля равномерного заполнения квадрата со стороной, равной единице.